Matematické Fórum

R4d1m3k · 10. 06. 2021 12:25

ahoj potřeboval bych pomoct.

mám pomocí důsledku L věty : "V konečné grupě je řád každého prvku dělitelem řádu grupy" ukázat že každá grupa řádu $p^n$ , kde p je prvočíslo, má podgrupu řádu p.

Tady je odkaz na skripta
ze kterých to je, strana důsledku je 42 (7.9) a příklad je na straně 44

Předem díky

zdubius · 11. 06. 2021 00:09

Všetky delitele čísla $p^n$ sú jednoduchého tvaru - skús si predstaviť, akého.

To budú (na základe spomínaného dôsledku LV) jediné možné rády prvkov grupy G.

Všetky prvky grupy G nemôžu mať rád 1 (prečo?), takže musí existovať nejaký prvok rádu väčšieho ako 1.

Ak vytvoríš cyklickú grupu generovanú týmto prvkom (tá bude podgrupou grupy G), nevedel by si v nej nájsť podgrupu rádu p?

R4d1m3k · 11. 06. 2021 13:07

díky za snahu mě na to navést ale algebra nějak není pro mě :D, takže stále v tom plavu

jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších, ale u té cyklické grupy jsem se ztratil :d

check_drummer · 11. 06. 2021 20:51

↑ R4d1m3k:
Ahoj, jaký bude řád prvku, který generuje alespoň dvouprvkovou cyklickou grupu?

R4d1m3k · 11. 06. 2021 20:56

↑ check_drummer:
podle toho jak to chápu tak by měl mít řád 2 pro dvouprvkovou grupu

R4d1m3k · 11. 06. 2021 21:22

↑ check_drummer:

možná jsem se chytil....

kdybych dal $p^n=9$ a vzal si teda grupu $Z_9$ , tak dělitelé jsou 1, 3 a 9
kdybych chtěl vytvořit grupu právě tou trojkou, tak bych dostal grupu s prvky 0, 3, 6 a její řád je teda 3

trefil jsem to?

zdubius · 12. 06. 2021 00:11

↑ R4d1m3k:

R4d1m3k napsal(a):
jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších...

Otázka je, čo rozumieš pod slovom "spousta" :) . Číslo $p^n$ má práve $n+1$ deliteľov, a síce $1,p,p^2,\dots , p^n$ . Všetky jeho delitele sú tvaru $p^k , k=0,1,2,\dots , n$ a teda jedine také hodnoty môže nadobúdať rád každého prvku grupy (o.i. si všimni, že okrem prípadu $k=0$ je rád každého prvku deliteľný $p$ ).

R4d1m3k napsal(a):
trefil jsem to?

V podstate si trafil záverečnú myšlienku.
Ak by pôvodná grupa bola cyklická (ako je napr. $\mathbb{Z}_9$ z Tvojho príkladu), ľahko z nej vyberieš podgrupu rádu $p$ - tak ako si naznačil.
V cvičení však cyklickosť celej grupy nepredpokladáme. Takže najprv ukážeš existenciu (=vytvoríš) netriviálnu cyklickú podgrupu v grupe G a hľadanú grupu rádu $p$ vyberieš až z nej.

R4d1m3k · 12. 06. 2021 07:43

↑ zdubius:
Jo už chápu, díky moc

R4d1m3k · 18. 06. 2021 16:11

↑ zdubius:
Teď mě napadá, podle čeho je jisté že v té vytvořené cyklické podgrupe bude vždy podgrupa radi p

zdubius · 21. 06. 2021 13:01

↑ R4d1m3k:
Ospravedlňujem sa za neskoršiu odpoveď, počas víkendu som mal pomerne nahustený program.

K Tvojej otázke: Vo všeobecnosti cyklická grupa generovaná prvkom $a$ má jednoduchú štruktúru - všetky jej prvky sú "mocniny" prvku $a$ (kde mocninou prvku $a$ rozumiememe výsledok grupovej operácie prvku $a$ so sebou samým, teda $a^2:=a.a, a^3:=a.a.a$ atď.)
Pokiaľ rád prvku $a$ je $r$ , tak prvky $a,a^2, a^3, \dots, a^{r-1}, a^r$ sú navzájom rôzne (dôkaz je jednoduchý, ak ste ho nerobili, skús si ho) a teda cyklická grupa generovaná prvom $a$ je práve
$\langle a \rangle = \{ a,a^2, a^3, \dots, a^{r-1}, a^r(=e)\}$ Tým pádom aj jej počet prvkov je $r$ .

Z predošlej doskusie vieš, že v grupe $G$ musí existovať prvok (označme ho $a$ ), ktorého rád je $p^k\ \ k\in\{1,2,\dots ,n\}$ . Ním generovaná cyklická grupa je teda $p^k$ -prvková grupa
$\{ a,a^2, a^3, \dots, a^{p^{k-1}},\dots, (a^{p^{k-1}})^2, \dots, (a^{p^{k-1}})^{p-1}, \dots,(a^{p^{k-1}})^p\}$

Ak z tejto grupy vyberieš vhodné prvky (využi, že počet prvkov je deliteľný $p$ , takže vyberaj v rovnakých "rozostupoch"), dostaneš hľadanú $p$ -prvkovú podgrupu.