Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 06. 2021 12:25

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Algebra Lagrangeova věta

ahoj potřeboval bych pomoct.

mám pomocí důsledku L věty : "V konečné grupě je řád každého prvku dělitelem řádu grupy" ukázat že každá grupa řádu $p^n$, kde p je prvočíslo, má podgrupu řádu p.

Tady je odkaz na skripta
ze kterých to je, strana důsledku je 42 (7.9) a příklad je na straně 44

Předem díky

Offline

 

#2 11. 06. 2021 00:09

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 16
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

Všetky delitele čísla $p^n$ sú jednoduchého tvaru - skús si predstaviť, akého. 

To budú (na základe spomínaného dôsledku LV) jediné možné rády prvkov grupy G.

Všetky prvky grupy G nemôžu mať rád 1 (prečo?), takže musí existovať nejaký prvok rádu väčšieho ako 1.

Ak vytvoríš cyklickú grupu generovanú týmto prvkom (tá bude podgrupou grupy G), nevedel by si v nej nájsť podgrupu rádu p?

Offline

 

#3 11. 06. 2021 13:07

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

díky za snahu mě na to navést ale algebra nějak není pro mě :D, takže stále v tom plavu

jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších, ale u té cyklické grupy jsem se ztratil :d

Offline

 

#4 11. 06. 2021 20:51

check_drummer
Příspěvky: 3537
Reputace:   91 
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ R4d1m3k:
Ahoj, jaký bude řád prvku, který generuje alespoň dvouprvkovou cyklickou grupu?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#5 11. 06. 2021 20:56

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ check_drummer:
podle toho jak to chápu tak by měl mít řád 2 pro dvouprvkovou grupu

Offline

 

#6 11. 06. 2021 21:08 Příspěvek uživatele R4d1m3k byl skryt uživatelem R4d1m3k.

#7 11. 06. 2021 21:22

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ check_drummer:

možná jsem se chytil....

kdybych dal $p^n=9$ a vzal si teda grupu  $Z_9$, tak dělitelé jsou 1, 3 a 9
kdybych chtěl vytvořit grupu právě tou trojkou, tak bych dostal grupu s prvky 0, 3, 6 a její řád je teda 3

trefil jsem to?

Offline

 

#8 12. 06. 2021 00:11

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 16
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ R4d1m3k:

R4d1m3k napsal(a):

jakoby chápu že mezi těmi děliteli bude určitě 1 a p, a spousta dalších...

Otázka je, čo rozumieš pod slovom "spousta" :) . Číslo $p^n$ má práve $n+1$ deliteľov, a síce $1,p,p^2,\dots , p^n$. Všetky jeho delitele sú tvaru $p^k , k=0,1,2,\dots , n$ a teda jedine také hodnoty môže nadobúdať rád každého prvku grupy (o.i. si všimni, že okrem prípadu $k=0$ je rád každého prvku deliteľný $p$).

R4d1m3k napsal(a):

trefil jsem to?

V podstate si trafil záverečnú myšlienku.
Ak by pôvodná grupa bola cyklická (ako je napr. $\mathbb{Z}_9$ z Tvojho príkladu), ľahko z nej vyberieš podgrupu rádu $p$ - tak ako si naznačil.
V cvičení však cyklickosť celej grupy nepredpokladáme. Takže najprv ukážeš existenciu (=vytvoríš) netriviálnu cyklickú podgrupu v grupe G a hľadanú grupu rádu $p$ vyberieš až z nej.

Offline

 

#9 12. 06. 2021 07:43

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ zdubius:
Jo už chápu, díky moc

Offline

 

#10 18. 06. 2021 16:11

R4d1m3k
Zelenáč
Příspěvky: 7
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ zdubius:
Teď mě napadá, podle čeho je jisté že v té vytvořené cyklické podgrupe bude vždy podgrupa radi p

Offline

 

#11 21. 06. 2021 13:01

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 16
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Algebra Lagrangeova věta

↑ R4d1m3k:
Ospravedlňujem sa za neskoršiu odpoveď, počas víkendu som mal pomerne nahustený program.

K Tvojej otázke: Vo všeobecnosti cyklická grupa generovaná prvkom $a$ má jednoduchú štruktúru - všetky jej prvky sú "mocniny" prvku $a$ (kde mocninou prvku $a$ rozumiememe výsledok grupovej operácie prvku $a$ so sebou samým, teda $a^2:=a.a, a^3:=a.a.a$ atď.)
Pokiaľ rád prvku $a$ je $r$, tak prvky $a,a^2, a^3, \dots, a^{r-1}, a^r$ sú navzájom rôzne (dôkaz je jednoduchý, ak ste ho nerobili, skús si ho) a teda cyklická grupa generovaná prvom $a$ je práve
$\langle a \rangle = \{ a,a^2, a^3, \dots, a^{r-1}, a^r(=e)\}$ Tým pádom aj jej počet prvkov je $r$.

Z predošlej doskusie vieš, že v grupe $G$ musí existovať prvok (označme ho $a$), ktorého rád je $p^k\ \ k\in\{1,2,\dots ,n\} $. Ním generovaná cyklická grupa je teda $p^k$-prvková grupa
$\{ a,a^2, a^3, \dots, a^{p^{k-1}},\dots, (a^{p^{k-1}})^2, \dots, (a^{p^{k-1}})^{p-1}, \dots,(a^{p^{k-1}})^p\}$

Ak z tejto grupy vyberieš vhodné prvky (využi, že počet prvkov je deliteľný $p$, takže vyberaj v rovnakých "rozostupoch"), dostaneš hľadanú $p$-prvkovú podgrupu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson