Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 06. 2021 20:06

jitkak
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Náhodné procesy

Ahoj, chtěla bych poprosit s tímto příkladem, tak nějak se lámu, co s tím:

Vasil a Cecil hrají hazardní hru. Každý hodí kostkou. Komu padne větší číslo, vyhraje od protihráče 1 korunu. Hodí-li stejné číslo, nikdo nic neplatí a pokračují ve hře. Hra končí, když některému z nich dojdou peníze. Jaká je pravděpodobnost, že budou pokračovat po třetím kole, když Vasil má 3 koruny a Cecil 2.

Stav procesu je finanční stav pouze jednoho hráče (kolik má korun), protože ve hře je známý celkový počet korun (5) a když známe, kolik korun má jeden, víme okamžitě, kolik má druhý.

Snad na markovské procesy.
Děkuji.

Offline

 

#2 20. 06. 2021 13:02 — Editoval Jj (20. 06. 2021 13:07)

Jj
Příspěvky: 8680
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   595 
 

Re: Náhodné procesy

↑ jitkak:

Hezký den.

Řekl bych, Markovův řetězec. Třeba Vasil:

Stav jeho financí se může změnit jen v určitém čase (v okamžiku hodů). S pravděpodobností
p = ... se  stav nezmění,
q = ... klesne o 1 korunu,
q = ... vzroste o 1 korunu.
K jiným změnám nedochází.


Počáteční stav jeho financí je 3 koruny, v průběhu  hry je možný stav jeho financí prvkem množiny
{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Zajímá nás tedy pravděpodnost, s níž Vasilovy finance v průběhu tří kol dosáhnou či nedosáhnou krajních hodnot uvedeného intervalu.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#3 20. 06. 2021 13:08

jitkak
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Náhodné procesy

↑ Jj:

Děkuji za reakci. A mohla bych poprosit, jak by se to dalo přes ty matice řešit?

Pokud se nepletu, tak by se měla matice 3x vynásobit? Vůbec ale nerozumím tomu, jak například získat přechodovou matici a pak co s čím násobit.

Je možné nějak nastínit?

Offline

 

#4 21. 06. 2021 16:48 — Editoval Jj (22. 06. 2021 08:47)

Jj
Příspěvky: 8680
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   595 
 

Re: Náhodné procesy

↑ jitkak:

Teorii bude třeba nastudovat z vašich studijních materiálů. V kontextu dané úlohy jen rámcově uvedu:

Rozložení pravděpodobnosti stavu Vasilových financí na počátku hry je dáno vektorem
p0 = (0, 0, 0, 1, 0, 0),
tzn. s pravděpodobností 1 je s0 = 3, ostatní stavy podle pořadí složek vektoru (tj. 0, 1, 2, 4, 5) mají na počátku nulovou pravděpodobnost.

Rozdělení pravděpodobnosti stavu jeho financí v následujících třech kolech (tj. vektory p1, p2, p3) získáme pomocí přechodové matice P takto:

p1 = p0*P
p2 = p1*P
p3 = p2*P

tj. postupně ji násobíme vektory p0, p1, p2 'zleva', až dostaneme vektor p3.
(nebo lze také využít vztah:  p3 = p0*P³).

V této úloze je přechodová matice P typu (6 x 6) a má (podle mě) tvar

[mathjax]\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0\\
q&p&q&0&0&0\\
0&q&p&q&0&0\\
0&0&q&p&q&0\\
0&0&0&q&p&q\\
0&0&0&0&0&1\\
\end{pmatrix}[/mathjax]


kde p, q jsou pravděpodobnosti přechodů podle  ↑ Jj: . Ze stavu s = 0 nebo s = 5 už nelze nikam přejít a hra končí.
Takže spočítat p, q (to asi nebude takový problém),  dosadit do matice a řešit (to už možná bude docela 'opruz').

Pomocí Wolframu jsem se dobral k 'nějakému' výsledku:


Jinak - těch kol není moc a k výsledku by se mělo dát dojít i  méně pracně bez maticového násobení (pokud není tento způsob v rámci procvičení nařízen).

Edit: jen drobné opravy


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#5 22. 06. 2021 13:33

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 757
Reputace:   
Web
 

Re: Náhodné procesy

Je to náhodná procházka s pohlcujícími stěnami.
Je-li řetězec ve stavu k, tak s pravd 1/6 bude příště ve stavu k,
s pravd. 5/12 ve stavu k+1, s pravd 5/12 ve stavu k-1
Sestavil bych matici pravd. přechodu, pak ji umocnil na třetí, dostaneme hledaný výsledek.
O Markovových řetězcích je též na mém webu www.tucekweb.info

Offline

 

#6 24. 06. 2021 13:58

jitkak
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Náhodné procesy

Tuto otázku jsem se nenaučil, protože je těžká. Doufal jsem, že ji nedostanu.
Na potvoru jsem ji dostal a vyhučel jsem od rigorózní zkoušky.

Nejsem tudíž RNDr, jsem jenom Mgr.

:-)

Offline

 

#7 27. 06. 2021 17:06

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 757
Reputace:   
Web
 

Re: Náhodné procesy

Tady se ale nejedná o řízené Markovovy řetězce.

Nevím, proč to zde cituješ?

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson