Matematické Fórum

↑ jitkak:

Hezký den.

Řekl bych, Markovův řetězec. Třeba Vasil:

Stav jeho financí se může změnit jen v určitém čase (v okamžiku hodů). S pravděpodobností
p = ... se  stav nezmění,
q = ... klesne o 1 korunu,
q = ... vzroste o 1 korunu.
K jiným změnám nedochází.


Počáteční stav jeho financí je 3 koruny, v průběhu  hry je možný stav jeho financí prvkem množiny
{0, 1, 2, 3, 4, 5}. Zajímá nás tedy pravděpodnost, s níž Vasilovy finance v průběhu tří kol dosáhnou či nedosáhnou krajních hodnot uvedeného intervalu.

↑ jitkak:

Teorii bude třeba nastudovat z vašich studijních materiálů. V kontextu dané úlohy jen rámcově uvedu:

Rozložení pravděpodobnosti stavu Vasilových financí na počátku hry je dáno vektorem
p0 = (0, 0, 0, 1, 0, 0),
tzn. s pravděpodobností 1 je s0 = 3, ostatní stavy podle pořadí složek vektoru (tj. 0, 1, 2, 4, 5) mají na počátku nulovou pravděpodobnost.

Rozdělení pravděpodobnosti stavu jeho financí v následujících třech kolech (tj. vektory p1, p2, p3) získáme pomocí přechodové matice P takto:

p1 = p0*P
p2 = p1*P
p3 = p2*P

tj. postupně ji násobíme vektory p0, p1, p2 'zleva', až dostaneme vektor p3.
(nebo lze také využít vztah:  p3 = p0*P³).

V této úloze je přechodová matice P typu (6 x 6) a má (podle mě) tvar

[mathjax]\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0\\
q&p&q&0&0&0\\
0&q&p&q&0&0\\
0&0&q&p&q&0\\
0&0&0&q&p&q\\
0&0&0&0&0&1\\
\end{pmatrix}[/mathjax]

kde p, q jsou pravděpodobnosti přechodů podle  ↑ Jj: . Ze stavu s = 0 nebo s = 5 už nelze nikam přejít a hra končí.
Takže spočítat p, q (to asi nebude takový problém),  dosadit do matice a řešit (to už možná bude docela 'opruz').

Pomocí Wolframu jsem se dobral k 'nějakému' výsledku:

Tuto otázku jsem se nenaučil, protože je těžká. Doufal jsem, že ji nedostanu.
Na potvoru jsem ji dostal a vyhučel jsem od rigorózní zkoušky.

Nejsem tudíž RNDr, jsem jenom Mgr.

:-)