Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 08. 2021 19:52

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Zdravím,

Potřebuju trknout: Teorie množin (Balcar, Štěpánek):

Schéma axiomů vydělení


[mathjax]\forall a \exists z \forall x: x \in z \Leftrightarrow (x\in a \wedge \varphi (x))[/mathjax]

Chápu.

Definice univerzální třídy:

[mathjax]\bf V =\{y:y=y\}[/mathjax]

Chápu.

Věta: Univerzální třída není množina.

Důkaz sporem: [mathjax]\bf V[/mathjax] je množina v. Podle schématu vydělení existuje množina z, pro kterou platí:

[mathjax]\forall a \exists  z \forall x : x \in z \Leftrightarrow  (x \in a \wedge x\not\in x )[/mathjax]

Nechápu. Proč [mathjax]x\not \in x [/mathjax], když v tomto případě [mathjax]\varphi (x) [/mathjax] je [mathjax]x=x[/mathjax] ??


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Eratosthenes)

#2 09. 08. 2021 22:11

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Eratosthenes napsal(a):

Proč [mathjax]x\not \in x [/mathjax], když v tomto případě [mathjax]\varphi (x) [/mathjax] je [mathjax]x=x[/mathjax] ??

Protoze je to uzitecne. Zvolit si za [mathjax]\varphi (x) [/mathjax] formuli [mathjax]x=x[/mathjax] by bylo k nicemu. To bys akorat "dokazal", ze kdyz V je mnozina, tak V je mnozina.

Offline

 

#3 09. 08. 2021 23:19

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

↑ Stýv:

Ale volbou [mathjax]x \not\in x[/mathjax] přece nedokážu, že [mathjax]\{ y: y = y \}[/mathjax] je vl. třída. Dokážu, že  [mathjax]\{ y: y \not\in y \}[/mathjax] je vl. třída. OK, [mathjax]\{ y: y \not\in y \}[/mathjax] je podtřída [mathjax]\{ y: y = y \}[/mathjax], ale že nadtřída vl. třídy musí být vl. třída, to nikde předtím dokázáno není...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#4 09. 08. 2021 23:45

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Jak dokazes, ze [mathjax]\{ y: y \not\in y \}[/mathjax] je vl. trida?

Offline

 

#5 10. 08. 2021 07:15

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Já nijak. To dokázali Balcar se Štěpánkem: vydělení pro [mathjax]\{y:y \not\in y \}[/mathjax][mathjax]z\in z \Leftrightarrow z\not\in z[/mathjax]. Jenže abych to dokázal pro  [mathjax]\{y:y=y \}[/mathjax] , musím to dokázat ještě pro [mathjax]\{y:y \in y \}[/mathjax] a to nedokážu, protože to vede na [mathjax]z\in z \Leftrightarrow z\in z[/mathjax], což spor není.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 10. 08. 2021 08:46

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

↑ Eratosthenes: Ale vydeleni prece rika, ze [mathjax]\{y:y \not\in y \}[/mathjax] je mnozina.

Offline

 

#7 10. 08. 2021 09:45

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Předpokládáme, že univ. třída V je množina (ozn. v). Pak podle ax. vydělení existuje množina z

[mathjax]z=\{x:x \in v \wedge x\not\in x\}[/mathjax]

Odtud plyne [mathjax]z\in z \Leftrightarrow z \not\in z[/mathjax]

(Balcar, str. 49).

Až sem to chápu. Ale z toho má plynout, že univ. třída není množina. To nechápu. Podle mě je dokázáno, že  množina není  [mathjax]\{y:y \not\in y \}[/mathjax]. Ale má se to dokázat pro univerzální třídu, tj. pro  [mathjax]\{y:y=y \}[/mathjax]...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 10. 08. 2021 16:57

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Mozna uplne nerozumis dukazu sporem. Na zacatku neco predpokladas (V je mnozina) a na konci jsi dosel ke sporu ([mathjax]z\in z \Leftrightarrow z \not\in z[/mathjax]). Tedy predpoklad neplati a V neni mnozina.

Offline

 

#9 10. 08. 2021 18:30

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

↑ Stýv:

Bez obav. Důkazu sporem rozumím docela dobře. Ještě jednou:

Univerzální třída je  [mathjax]V=\{ x:\varphi (x)\} =\{ x: x=x\}[/mathjax].

Takže pro univerzální třídu je [mathjax]\varphi (x) \equiv (x=x)[/mathjax]

Předpokládám že V  množina. Podle ax. vydělení musí existovat množina z

[mathjax]z=\{x:x \in v \wedge \varphi (x) \}[/mathjax]

Ještě jednou:  [mathjax]\varphi (x)[/mathjax] je x=x. Takže kde se tam najednou vzalo [mathjax]x \not\in x [/mathjax] ?? 

Co je pro mě užitečné nebo neužitečné je šumák. Nemůžu přece jen tak místo x=x napsat  [mathjax]x\not\in x[/mathjax] . Když potřebuju dokázat, že v každém trojúhelníku jsou shodné dva úhly, bude pro mě užitečné vzít místo všech jenom rovnoramenné a "dokážu" to. To je přece totéž a to nejde....


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#10 10. 08. 2021 18:59

Brano
Příspěvky: 2614
Reputace:   227 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

lenze z je definovane pomocou [mathjax]\varphi (x) \equiv x \not\in x [/mathjax] takze tam sa to vzalo

Offline

 

#11 10. 08. 2021 20:22

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

↑ Brano:

Žádná taková definice tam není.

Je tam:

Axiom vydělení

[mathjax]\forall a\exists z\forall x ( x\in z \Leftrightarrow x\in a \wedge \varphi (x))[/mathjax]

Tečka. O tom, jak má [mathjax]\varphi (x)[/mathjax] vypadat, nikde ani slovo.

Dále: Je-li univ třída množina, pak z toho axiomu prý plyne

[mathjax]z=\{x:(x\in v)\wedge(x\not\in x)\} [/mathjax]

Čili žádná definice. Plyne to prý z axiomu. A já nevím, proč nebo jak...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#12 10. 08. 2021 20:38 — Editoval Brano (10. 08. 2021 20:45)

Brano
Příspěvky: 2614
Reputace:   227 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Eratosthenes napsal(a):

Tečka. O tom, jak má [mathjax]\varphi (x)[/mathjax] vypadat, nikde ani slovo.

no ved to je prave ta pointa; ze to fi moze vyzerat ako len chceme; t.j. moze to byt lubovolna formula a [mathjax]\varphi (x) \equiv x \not\in x [/mathjax] je platna formula, tak si ju zvolime

to je ako ked mas vetu: ak je funkcia $f$ diferencovatelna potom je $f$ spojita

tiez tam nie je povedane ako to $f$ ma vyzerat a mysli sa tym ze $f$ moze byt lubovolne a dosledkom tej vety je akekolvek tvrdenie, kde za $f$ nieco dosadime; t.j, napriklad

ak je funkcia $x\mapsto x^2$ diferencovatelna, potom je $x\mapsto x^2$ spojita
alebo
ak je funkcia $sgn$ diferencovatelna, potom je $sgn$ spojita

Offline

 

#13 10. 08. 2021 22:15

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

>>  no ved to je prave ta pointa; ze to fi moze vyzerat ako len chceme; t.j. moze to byt lubovolna formula a [mathjax]\varphi (x) \equiv x\not\in x[/mathjax] je platna formula, tak si ju zvolime..

OK. Ale [mathjax]\varphi (x) \equiv x\in x[/mathjax] je taky platná formule. A když si ji zvolím, "dokážu", že univ. třída je množina...

Dále: já mám větu dokázat a ne ověřovat její platnost konkrétními příklady.

Vezmu třeba ty diferencovatelné funkce. Mám dokázat větu:   ak je funkcia $f$ diferencovatelna potom je $f$ spojita

Podle Tebe je důkazem toto: Funkce může vypadat, jak jen chceme, takže to může být libovolná diferencovatelná funkce. $x\mapsto x^2$ je platná funkce. Je diferencovatelná, takže dokážu, že je spojitá a důkaz je hotov.

No to snad ne.

Za třetí:  [mathjax]\varphi (x)[/mathjax] není v tomto případě libovolná formule. Mám dokázat nějaké tvrzení o univerzální třídě. Formule, která ji definuje, je x=x a nic jiného. Tam žádná libovůle není.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#14 10. 08. 2021 22:41

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5593
Reputace:   214 
Web
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

Eratosthenes napsal(a):

OK. Ale [mathjax]\varphi (x) \equiv x\in x[/mathjax] je taky platná formule. A když si ji zvolím, "dokážu", že univ. třída je množina...

Kdyz si zvolis [mathjax]\varphi (x) \equiv x\in x[/mathjax], nedojdes ke sporu, takze nic nedokazes.

Eratosthenes napsal(a):

Za třetí: [mathjax]\varphi (x)[/mathjax]  není v tomto případě libovolná formule. Mám dokázat nějaké tvrzení o univerzální třídě. Formule, která ji definuje, je x=x a nic jiného. Tam žádná libovůle není.

Ale my nechceme psat definici univerzalni tridy. My chceme z univerzalni tridy vydelit nejakou jeji podmnozinu, ktera nas privede ke sporu.

Offline

 

#15 10. 08. 2021 22:58

Brano
Příspěvky: 2614
Reputace:   227 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

zda sa mi z hovoris trosku scesty, skus citat co som napisal

veta "ak je funkcia $f$ diferencovatelna potom je $f$ spojita" je patna avsak o jej dokaze sme sa vobec nebavili, ale bavili sme sa o jej dosledkoch; treba spravne citat "smer sipky" v implikacii

rovnako ako sa nebavime o platnosti axiomy vydelenia, ale o jej dosledkoch

co sa teda tyka toho konkretneho dokazu tak zacinam mat pocit ze sa snazis iba trolit, ale skusme este raz

axioma: [mathjax]\forall a \exists z \forall x: x \in z \Leftrightarrow (x\in a \wedge \varphi (x))[/mathjax]

niekolko jej dosledkov

[mathjax]\forall a \exists z \forall x: x \in z \Leftrightarrow (x\in a \wedge x=x)[/mathjax]
[mathjax]\forall a \exists z \forall x: x \in z \Leftrightarrow (x\in a \wedge x\in x)[/mathjax]
[mathjax]\forall a \exists z \forall x: x \in z \Leftrightarrow (x\in a \wedge x\not\in x)[/mathjax]

vsetko su to platne tvrdenia, lebo vyplivaju z vyssie uvedenej prostym dosadenim za fi

a mozno si si niekedy uz vsimol ze v dokaze nejakej vety nemas predpisane ktore tvrdenia mozes a ktore nemozes pouzivat; mozes pouzit lubovolne tvrdenie, za predpokladu, ze je platne (resp. dokazane z axiom) a konkretne si mozes teda zvolit, ze pouzijes to posledne tvrdenie, ako sa rozhodli autori. Potom urobili dosledok tohoto tvrdenia kde dosadili V za a, co mohli urobit, lebo predpokladali, ze V je mnozina. Kedze tym dospeli k sporu, tak z toho usudili, ze ten predpoklad nemoze byt spravny ako nam hovori metoda dokazu sporom.

Offline

 

#16 11. 08. 2021 07:31

Eratosthenes
Příspěvky: 1989
Reputace:   121 
 

Re: Schéma axiomů vydělení a univerzální třída

↑ Stýv:
↑ Brano:

No vidíte, hoši - to, co jste napsali jako poslední, jste měli napsat na začátku a bylo by hotovo. Konečně jsem to pochopil :-)

To nebylo o trolení, fakt jsem tomu nerozuměl. Už to chápu, takže díky.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson