Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 08. 2021 14:50 — Editoval tama27 (25. 08. 2021 14:51)

tama27
Příspěvky: 30
Škola: gymnázium Elišky Krásnohorské
Pozice: student
Reputace:   
 

Obměna tvrzení - matematická logika

Ahoj,
měl bych dotaz ani ne tak ke správnému výsledku, ale spíš bych ocenil nějaký návod, jak podobné úlohy z logiky řešit. Ukázkový příklad:

Které z následujících tvrzení jsou obměnou tvrzení: "Pokud existuje liché prvočíslo, pak pro žádné x∈N neexistuje y∈N takové, že y>x."?
1) Jestliže existují x,y∈N taková, že y>x, potom neexistuje liché prvočíslo.
2) Jestliže existuje liché prvočíslo, pak pro každé x∈N existuje y∈N takové, že y>x.
3) Jestliže neexistuje liché prvočíslo, pak pro každé x∈N existuje y∈N takové, že y>x.
4) Jestliže existují x,y∈N taková, že y≤x, potom existuje liché prvočíslo.

Jediné, co vím je, že 2) musí být špatně, neboť se jedná o výrok přesně opačný. Pokud bychom si zadání napsali jako A [mathjax]{\displaystyle \Rightarrow }[/mathjax] B , potom 2) je A [mathjax]{\displaystyle \Rightarrow }[/mathjax] non B.
Stejně tak si myslím, že 3) je správně, protože se dá přepsat jako non A [mathjax]{\displaystyle \Rightarrow }[/mathjax] non B což je ekvivalentní k  A [mathjax]{\displaystyle \Rightarrow }[/mathjax] B. Je moje úvaha prosím správná? Jak by se dalo pokračovat v bodě 1) a 4) ?
Moc děkuji

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) tama27)

#2 25. 08. 2021 15:26 — Editoval Richard Tuček (25. 08. 2021 15:27)

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 671
Reputace:   
Web
 

Re: Obměna tvrzení - matematická logika

Implikace A=>B a non B => non A mají stejnou pravdivostní hodnotu
asi to bude 1)
Pozor na implikace: z nepravdy může plynout pravda, ale ne naopak.

Offline

 

#3 25. 08. 2021 16:14

Eratosthenes
Příspěvky: 2187
Reputace:   127 
 

Re: Obměna tvrzení - matematická logika

↑ tama27:

>> [mathjax]non A\Rightarrow non B[/mathjax] je ekvivalentní [mathjax]A\Rightarrow B[/mathjax]...

To tedy není...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#4 26. 08. 2021 14:41

tama27
Příspěvky: 30
Škola: gymnázium Elišky Krásnohorské
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Obměna tvrzení - matematická logika

↑ Richard Tuček:
Díky za odpověď. Takže myslíš, že obměnou tzení je jen 1)? Trojka ne?

Offline

 

#5 26. 08. 2021 14:43

tama27
Příspěvky: 30
Škola: gymnázium Elišky Krásnohorské
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Obměna tvrzení - matematická logika

↑ Eratosthenes:
Díky za reakci. Samozřejmě, díky za opravu, myslel jsem [mathjax]{\displaystyle (A\Rightarrow B)=(\neg B\Rightarrow \neg A)} [/mathjax]. Tak je to správně, že?

Offline

 

#6 26. 08. 2021 16:52

Eratosthenes
Příspěvky: 2187
Reputace:   127 
 

Re: Obměna tvrzení - matematická logika


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#7 26. 08. 2021 16:58

Placka03
Příspěvky: 184
Škola: Gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Obměna tvrzení - matematická logika

Mějme výroky:
A ... existuje liché prvočíslo
B ... pro žádné [mathjax]x \in \mathbb{N}[/mathjax] neexistuje [mathjax]y \in \mathbb{N}[/mathjax] takové, že [mathjax]y > x[/mathjax]

Původní výrok je tedy [mathjax]A \Rightarrow B[/mathjax], jeho obměna [mathjax]\neg B \Rightarrow \neg A[/mathjax].

Určeme postupně výroky [mathjax]\neg A[/mathjax] a [mathjax]\neg B[/mathjax].

Negace výroku [mathjax]A[/mathjax] je neexisutje liché prvočíslo. Negace [mathjax]B[/mathjax] je existuje [mathjax]x \in \mathbb N[/mathjax], pro které existuje [mathjax]y \in \mathbb{N}[/mathjax] takové, že [mathjax]y > x[/mathjax].

Po dosazení do [mathjax]\neg B \Rightarrow \neg A[/mathjax] máme:
Jestliže existují nějaká [mathjax]x,y \in \mathbb N[/mathjax] taková, že [mathjax]y > x[/mathjax], pak neexistuje liché prvočíslo.

čemuž skutečně odpovídá možnost 1.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson