Matematické Fórum

↑ anddry97:

Ahoj,

s využitím pravidla [mathjax]\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}[/mathjax] můžeme snadno dokázat všechna ostatní:

[mathjax]\sqrt[n]{\frac a b} = (\frac a b)^{\frac 1 n} = \frac {a^\frac 1 n}{b^\frac 1 n} = \frac {\sqrt[n]{a}} {\sqrt[n]{b}}[/mathjax]

[mathjax]\sqrt[n]{a\cdot b} = (a\cdot b)^\frac 1 n = a^\frac 1 n \cdot  b^\frac 1 n = \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}[/mathjax]

[mathjax]\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = (a^\frac 1 m)^\frac 1 n = a^\frac 1 {mn} = \sqrt[mn]{a}[/mathjax]

Vztah [mathjax]\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}[/mathjax] asi moc nemá smysl dokazovat, protože se spíše jedná o definici odmocniny. Můžeme ale ukázat, jak zlomek v exponentu funguje.

Víme, že platí [mathjax]x^a\cdot x^b = a^{a + b}[/mathjax], takže třeba [mathjax]9^\frac 1 2 \cdot 9^\frac 1 2 = 9[/mathjax]. Proto je [mathjax]9^\frac 1 2[/mathjax] číslo, které po vynásobení samo se sebou dává 9 - tedy 3. Značka odmocniny je jen alternativní způsob, jak zapsat polovintou mocninu.

Obecně bychom mohli říct, že:

[mathjax](a^\frac k n)^n = a^k[/mathjax],

tedy [mathjax]a^\frac k n[/mathjax] je číslo, jehož n-tá mocnina je [mathjax]a^k[/mathjax]. Takové číslo značíme [mathjax]\sqrt[n]{a^k}[/mathjax].

↑ anddry97:
Nebo zkusme toto:  položme: x^n=a, y^n=b.  Pak (x*y)^n=x^n * y^n = a*b
tedy n-tá odm(ab)=xy=n-tá odm z a * n-tá odm z b

Podobně ostatní rovnosti.

Lze vůbec dokázat, že [mathjax]\sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n}[/mathjax] ? Nebo je to nutné definovat ?

Dokazovat to pomocí funkce [mathjax]y=a^x[/mathjax] mi přijde trošku divné, protože dokud nedokážeme definovat mocninu s neceločíselným exponentem, těžko můžeme definovat exponenciální funkci...

↑ anddry97:
Doplnim a rozvinu. Necht vime, ze:
1) funkce [mathjax]e^x[/mathjax] je definovana a funkce [mathjax]\ln x[/mathjax] je jeji inverze
2) [mathjax]e^xe^y=e^{x+y}[/mathjax], z cehoz pomoci 1) take plyne, ze [mathjax]\ln(xy)=\ln(e^{\ln x}e^{\ln y})=\ln e^{\ln x+\ln y}=\ln x+\ln y[/mathjax]
3) [mathjax]e^0=1[/mathjax]
Pak zkusme definovat obecnou mocninu pomoci [mathjax]x^y:=e^{y\ln x}[/mathjax], [mathjax]x>0[/mathjax], [mathjax]y\in\mathbb{R}[/mathjax]. Snadno zjistime, ze tahle mocnina splnuje:
a) [mathjax]x^{y+z}=e^{(y+z)\ln{x}}=e^{y\ln{x}}e^{z\ln x}=x^yx^z[/mathjax] podle 2)
b) [mathjax](x^y)^z=e^{z\ln{x^y}}=e^{z\ln{e^{y\ln x}}}=e^{zy\ln{x}}=x^{yz}[/mathjax] podle 1)
c) [mathjax](xy)^z=e^{z\ln(xy)}=e^{z\ln x+z\ln y}=e^{z\ln x}e^{z\ln y}=x^zy^z[/mathjax] podle 2)
d) [mathjax]x^0=e^{0\ln{x}}=e^0=1[/mathjax] podle 3)
e) [mathjax]1^y=e^{y\ln{1}}=e^{y\ln e^0}=e^0=1[/mathjax] podle 1) a 3)
Z toho uz je zrejme, ze [mathjax]x^y[/mathjax] se shoduje se stredoskolskou definici mocniny. Skutecne, predne ma smysl ztotoznit odmocninu
[mathjax]\sqrt[n]{x^m}[/mathjax] s cislem [mathjax]x^{\frac mn}[/mathjax], nebot to podle b) ma pozadovanou vlastnost, ze [mathjax](x^{\frac mn})^n=x^{\frac mnn}=x^m[/mathjax]. To dokazuje ctvrtou vlastnost (iv) z Tveho uvodniho prispevku. Vlastnost (iii) pak okamzite plyne z b), (ii) plyne z c) a (i) je jednoduchym dusledkem c) a b) (nebot [mathjax]\frac1b=b^{-1}[/mathjax]).

Vlastnosti 1), 2), 3) (ktere jsou jedine, co jsme potrebovali) jsou zakladni vlastnosti funkce [mathjax]e^x[/mathjax], ktere se dokazou z jeji definice. Obtiznost pak silne zavisi na zpusobu definice. Nektere moznosti:
- [mathjax]e^x:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^{n}[/mathjax] (k definici je potreba jen pojmu limita, ale dokazat 2) bude stat dost usili)
- [mathjax]e^x:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}[/mathjax] (potreba znat zaklady konvergence rad, ale dokazat 2) neni tak tezke)
- [mathjax]e^x:=\text{inverze k }\quad\int_1^x\frac1s\mathrm{d}s[/mathjax]
- [mathjax]e^x:=\text{maximalni reseni ODR }\quad f'=f,\quad f(0)=1[/mathjax]
- [mathjax]e^x:=\text{pevny bod zobrazeni }\quad f\mapsto f',\quad f(-\infty)=0[/mathjax]
atd., atd.

Obrovska vyhoda tohoto pristupu, kterou jsem jeste nezminil je, ze da pomerne snadno dokazat ze [mathjax]x^y[/mathjax] je hladka funkce a [mathjax]\frac{d}{dx}x^y=\frac{d}{dx}e^{y\ln x}=yx^{y-1}[/mathjax], nebo [mathjax]\frac{d}{dy}x^y=\ln{x}x^y[/mathjax], atd., kdezto stredoskolskou mocninu bys musel nejdrive zespojitit, pak dokazat ze ma derivaci a pak pouzit binomickou vetu nebo kdo vi co jeste.

↑ MichalAld:
Vsimni si, ze zadna z uvedenych definic [mathjax]e^x[/mathjax] nepouziva necelociselne (nebo dokonce iracionalni) mocniny. Naopak - bez exponenciely tezko definujes napr. [mathjax]2^{\sqrt2}[/mathjax].

↑ MichalAld:
Elementarne to jde jen v racionalnich cislech, ale pokud s tim potrebujes dal jakkoli pracovat (derivovat), bez limit se neobejdes. Bral jsem v ohledu ze tema je v sekci VS, kde pojem limita musi kazdy dokonale znat.