Matematické Fórum

Ahoj ↑ Pomeranc:,

mas tedy funkcional
[mathjax]F(g)=\frac1p\int_{\Omega}|g|^p-\langle T,g\rangle[/mathjax]
a mas dokazano, ze existuje minimizer v [mathjax]L^p[/mathjax]. Pak pro vsechny [mathjax]\delta>0[/mathjax] a [mathjax]h\in L^p[/mathjax] plati [mathjax]g+\delta h\in L^p[/mathjax], [mathjax]F(g+\delta h)<\infty[/mathjax] (Minkowski) a taky
[mathjax]0\leq \frac1{\delta}(F(g+\delta h)-F(g))[/mathjax]
diky minimalite. Pomoci vet o zamene limity a integralu pak limitou [mathjax]\delta\to0+[/mathjax] zjistis, ze Gateaux derivace splnuje
[mathjax]F'(g)[h]\geq 0[/mathjax] pro vsechny [mathjax]h\in L^p[/mathjax]. Protoze [mathjax]F'(g)[/mathjax] bude linearni v [mathjax]h[/mathjax], mas dokonce [mathjax]F'(g)[h]=0[/mathjax], coz je tva hledana Euler-Lagrange rovnice.

Staci tedy umet Gateaux derivaci - ve tvem pripade
[mathjax]0=F'(g)[h]=\int_{\Omega}|g|^{p-2}gh-\langle T,h\rangle[/mathjax],
z cehoz plyne (diky zakl. vete variacniho poctu), ze [mathjax]T[/mathjax] se da reprezentovat funkci
[mathjax]T=|g|^{p-2}g[/mathjax].
Vsimni se, ze [mathjax]\lVert T\rVert_{p'}=\lVert|g|^{p-1}\rVert_{p'}=\lVert g\rVert_p^{p-1}<\infty[/mathjax],
takze na [mathjax]T[/mathjax] se da opravdu divat jako na element [mathjax]L^{p'}[/mathjax] a izomrofismus dokazes snadno.

Az budes mit jasno, muzem pokracovat s 2)

↑ Pomeranc:
Jednicka urcite zaludna neni..

To jak to delaji v tom odkazu vypada sice pekne, ale to je takova idealizovana situace. Jednak muzes mit jine okrajovky (nebo je vubec nemit jako v 1)) a taky F nemusi byt 2x diferencovatelne. Jinymi slovy, tady je lepsi se perparteseni vyhnout. Navic tvuj funcional zavisi jen na [mathjax]g[/mathjax] a ne na [mathjax]x[/mathjax] nebo [mathjax]\nabla g[/mathjax]. A i kdyby zavisel, postup, co jsem ti napsal funguje stejne.

Co se tyce 2), muzes vyuzit toho,ze
[mathjax]\int(\varphi(\nabla(u+\varepsilon v))-\varphi(\nabla u))=\varepsilon\int\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u+s\varepsilon \nabla v)\cdot \nabla v\,\mathrm{d}s[/mathjax]
podle vety o stredni hodnte. Z toho je vicemene vsechno jasne.

↑ Pomeranc:
Funkce [mathjax]\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u+s\varepsilon\nabla v)\,\mathrm{d}s[/mathjax] je podle predpokladu omezena (integral od 0 do 1 nic nezkazi) a konverguje bodove k [mathjax]\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u)\,\mathrm{d}s=\nabla \varphi(\nabla u)[/mathjax], diky spojitosti [mathjax]\nabla \varphi[/mathjax], ok? Navic
[mathjax]|\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u+s\varepsilon\nabla v)\cdot\nabla v\,\mathrm{d}s|\leq C|\nabla v|\in L^2[/mathjax], takze integrand ma integrovatelnou majorantu a pomoci Lebesgueovy vety zalimitis.

A co je za problem s 1)? Vypocet te derivace? Zkus si nejdriv spocist [mathjax](|u|^2)'[v][/mathjax] a pak to vyuzij k [mathjax](|u|^p)'[v][/mathjax] pres derivaci sloz. fce.

PS. znaceni [mathjax]\frac{\partial \varphi (\nabla (u+s\varepsilon v))}{\partial \nabla (u+s\varepsilon v)}[/mathjax] je dost obskurni... funkce phi ma proste tri promenne

↑ Pomeranc:
To ti vyslo stejne, protoze [mathjax]|g|\text{sgn}(g)=g[/mathjax]. Ja si pamatuju, ze [mathjax]\frac12(|g|^2)'[h]=gh[/mathjax], takze [mathjax](|g|)'[h]=(\sqrt{g^2})'[h]=\frac{g}{|g|}h[/mathjax], tudiz [mathjax]\frac1p(|g|^p)'[h]=|g|^{p-1}(|g|)'[h]=|g|^{p-2}gh[/mathjax]. Muj postup ma vyhodu v tom, ze funguje i kdyz g je vektor.

No treba [mathjax]\partial_i\varphi(\nabla(u+s\varepsilon v))[/mathjax], [mathjax]i=1,\ldots,n[/mathjax] je podle me prehlednejsi.