Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Ahoj,
řeším domácí úkol z PDR, ale vůbec si s tím nevím rady, protože jsme si ani nezadefinovali
Lagrangeovy Eulerovy rovnice (bohužel organizace předmětu je opravdu zlá, a tak se
tyto věci stávají celkem často). Kdybyste mě někdo alespoň trošku navedl, tak by to bylo super.
Zadání dú je tu: Odkaz1 a tu Odkaz2.
Věc, na kterou se odkazují je tu: Odkaz .
Offline
↑ Pomeranc:
Ahoj, co je to za školu? Ať jí taky trochu uděláš "reklamu". :-)
Offline
Ahoj ↑ Pomeranc:,
mas tedy funkcional
[mathjax]F(g)=\frac1p\int_{\Omega}|g|^p-\langle T,g\rangle[/mathjax]
a mas dokazano, ze existuje minimizer v [mathjax]L^p[/mathjax]. Pak pro vsechny [mathjax]\delta>0[/mathjax] a [mathjax]h\in L^p[/mathjax] plati [mathjax]g+\delta h\in L^p[/mathjax], [mathjax]F(g+\delta h)<\infty[/mathjax] (Minkowski) a taky
[mathjax]0\leq \frac1{\delta}(F(g+\delta h)-F(g))[/mathjax]
diky minimalite. Pomoci vet o zamene limity a integralu pak limitou [mathjax]\delta\to0+[/mathjax] zjistis, ze Gateaux derivace splnuje
[mathjax]F'(g)[h]\geq 0[/mathjax] pro vsechny [mathjax]h\in L^p[/mathjax]. Protoze [mathjax]F'(g)[/mathjax] bude linearni v [mathjax]h[/mathjax], mas dokonce [mathjax]F'(g)[h]=0[/mathjax], coz je tva hledana Euler-Lagrange rovnice.
Staci tedy umet Gateaux derivaci - ve tvem pripade
[mathjax]0=F'(g)[h]=\int_{\Omega}|g|^{p-2}gh-\langle T,h\rangle[/mathjax],
z cehoz plyne (diky zakl. vete variacniho poctu), ze [mathjax]T[/mathjax] se da reprezentovat funkci
[mathjax]T=|g|^{p-2}g[/mathjax].
Vsimni se, ze [mathjax]\lVert T\rVert_{p'}=\lVert|g|^{p-1}\rVert_{p'}=\lVert g\rVert_p^{p-1}<\infty[/mathjax],
takze na [mathjax]T[/mathjax] se da opravdu divat jako na element [mathjax]L^{p'}[/mathjax] a izomrofismus dokazes snadno.
Az budes mit jasno, muzem pokracovat s 2)
Offline
Ahoj,
já jsem začala spíš dvojkou, protože jednička vypadá celkem záludně.
Eulerovu Lagrangeovu rovnici jsem počítala jako tady: Odkaz.
[mathjax] 0=\int_{\Omega }^{}\frac{\partial d}{\partial \varepsilon }\varphi (\nabla (u(x)+\varepsilon \eta (x))dx=\int_{\Omega }^{}(\frac{\partial \varphi }{\partial (\frac{\partial u(x)}{\partial x_{1}})}+...+\frac{\partial \varphi }{\partial (\frac{\partial u(x)}{\partial x_{n}})}) \cdot \eta (x) dx [/mathjax]
Takže Eulerova Lagrangeova rovnice je [mathjax]\frac{\partial \varphi }{\partial (\frac{\partial u(x)}{\partial x_{1}})}+...+\frac{\partial \varphi }{\partial (\frac{\partial u(x)}{\partial x_{n}})}=0[/mathjax] ?
Důkaz existence Gateuxovi derivace jsme si tak nic moc neříkali, tak si nejsem vůbec jistá, co mám dokázat.
První variace je Gateauxova derivace. Což se mi nepodařilo dopočítat.
[mathjax]\delta _{v}J(u)=\lim_{\varepsilon \to0}\frac{\int_{\Omega }^{}\varphi (\nabla (u+\varepsilon v))dx-\int_{\Omega }^{}\varphi (\nabla (u))dx}{\varepsilon }[/mathjax]
Offline
↑ Pomeranc:
Jednicka urcite zaludna neni..
To jak to delaji v tom odkazu vypada sice pekne, ale to je takova idealizovana situace. Jednak muzes mit jine okrajovky (nebo je vubec nemit jako v 1)) a taky F nemusi byt 2x diferencovatelne. Jinymi slovy, tady je lepsi se perparteseni vyhnout. Navic tvuj funcional zavisi jen na [mathjax]g[/mathjax] a ne na [mathjax]x[/mathjax] nebo [mathjax]\nabla g[/mathjax]. A i kdyby zavisel, postup, co jsem ti napsal funguje stejne.
Co se tyce 2), muzes vyuzit toho,ze
[mathjax]\int(\varphi(\nabla(u+\varepsilon v))-\varphi(\nabla u))=\varepsilon\int\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u+s\varepsilon \nabla v)\cdot \nabla v\,\mathrm{d}s[/mathjax]
podle vety o stredni hodnte. Z toho je vicemene vsechno jasne.
Offline
↑ Bati:
Tak ono to celé asi stojí na Gateaux derivaci, ale tu počítám poprvé, tak to s ní moc neumím.
U dvojky:
[mathjax]\delta _{v}J(u)=\lim_{\varepsilon \to0}\frac{\int_{\Omega }^{}\varphi (\nabla (u+\varepsilon v))dx-\int_{\Omega }^{}\varphi (\nabla (u))dx}{\varepsilon }[/mathjax]
[mathjax]\int_{\Omega }^{}\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{\varepsilon }[\varphi (\nabla (u+s\varepsilon v))]_{0}^{1} dx=[/mathjax]
[mathjax]\int_{\Omega }^{}\int_{0}^{1}\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{\varepsilon }(\frac{\partial \varphi (\nabla (u+s\varepsilon v))}{\partial \nabla (u+s\varepsilon v)} \cdot \varepsilon \nabla v)ds dx=\int_{\Omega }^{}(\frac{\partial \varphi (\nabla (u))}{\partial \nabla (u)} \cdot \nabla v) dx
[/mathjax]
Derivace bude existovat, když vnitřek integrálu bude integrovatelný. Což to vpravo je, ale to vlevo nevím. Kdyby to bylo alespoň spojité, tak by se na to dala použít Holderova nerovnost.
Jedničku stále nechápu.
Offline
↑ Pomeranc:
Funkce [mathjax]\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u+s\varepsilon\nabla v)\,\mathrm{d}s[/mathjax] je podle predpokladu omezena (integral od 0 do 1 nic nezkazi) a konverguje bodove k [mathjax]\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u)\,\mathrm{d}s=\nabla \varphi(\nabla u)[/mathjax], diky spojitosti [mathjax]\nabla \varphi[/mathjax], ok? Navic
[mathjax]|\int_0^1\nabla\varphi(\nabla u+s\varepsilon\nabla v)\cdot\nabla v\,\mathrm{d}s|\leq C|\nabla v|\in L^2[/mathjax], takze integrand ma integrovatelnou majorantu a pomoci Lebesgueovy vety zalimitis.
A co je za problem s 1)? Vypocet te derivace? Zkus si nejdriv spocist [mathjax](|u|^2)'[v][/mathjax] a pak to vyuzij k [mathjax](|u|^p)'[v][/mathjax] pres derivaci sloz. fce.
PS. znaceni [mathjax]\frac{\partial \varphi (\nabla (u+s\varepsilon v))}{\partial \nabla (u+s\varepsilon v)}[/mathjax] je dost obskurni... funkce phi ma proste tri promenne
Offline
↑ Bati:
Ano, ta derivace je problém.
[mathjax]F_{h}g=\langle T,h\rangle +\int_{\Omega }^{}\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon }[\frac{|g+s\varepsilon h|^{p}}{p}]_{0}^{1}dx =[/mathjax]
[mathjax]\langle T,h\rangle +\int_{\Omega }^{}\int_{0}^{1}\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon }(|g+s\varepsilon h|^{p-1}\cdot sgn(g+s\varepsilon h) \cdot \varepsilon h dsdx = \langle T,h\rangle +\int_{\Omega }^{} |g|^{p-1}\cdot sgn(g)h \ dx[/mathjax]
Vyšlo mi to podobně, ale ne stejně.
Když u dvojky to značení je obskurní, jaké jiné zvolit?
Offline
↑ Pomeranc:
To ti vyslo stejne, protoze [mathjax]|g|\text{sgn}(g)=g[/mathjax]. Ja si pamatuju, ze [mathjax]\frac12(|g|^2)'[h]=gh[/mathjax], takze [mathjax](|g|)'[h]=(\sqrt{g^2})'[h]=\frac{g}{|g|}h[/mathjax], tudiz [mathjax]\frac1p(|g|^p)'[h]=|g|^{p-1}(|g|)'[h]=|g|^{p-2}gh[/mathjax]. Muj postup ma vyhodu v tom, ze funguje i kdyz g je vektor.
No treba [mathjax]\partial_i\varphi(\nabla(u+s\varepsilon v))[/mathjax], [mathjax]i=1,\ldots,n[/mathjax] je podle me prehlednejsi.
Offline
Stránky: 1