Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 08. 12. 2021 14:03
Moment setrvačnosti homogenní desky
Zdravím, potřebuji poradit s následujícím příkladem:
Určete moment setrvačnosti homogenní desky ohraničené parabolou [mathjax]y^{2}=4x[/mathjax] a přímkou [mathjax]x=a[/mathjax] vzhledem k ose y. Hmotnost desky je [mathjax]M[/mathjax].
Řešení je [mathjax]I_{y}=\frac{3Ma^{2}}{7}[/mathjax].
Počítal jsem to pomocí vzorce [mathjax]I_{y}=\int_{0}^{a}\int_{-2\sqrt{a}}^{2\sqrt{a}} (x^{2}\sigma)dydx[/mathjax],
kde [mathjax]\sigma [/mathjax] je plošná hustota [mathjax]\sigma =\frac{M}{S}[/mathjax]. Dále jsem si spočítal obsah té plochy:
[mathjax]S=2\int_{0}^{a} ydx=2\int_{0}^{a} \sqrt{4a}dx=\frac{8a\sqrt{a}}{3}[/mathjax]
a tedy [mathjax]\sigma =\frac{M}{S}=\frac{3Ma}{8a\sqrt{a}}[/mathjax]. Takže jsem počítal integrál:
[mathjax]I_{y}=\frac{3M}{8a\sqrt{a}}\int_{0}^{a}\int_{-2\sqrt{a}}^{2\sqrt{a}} (\frac{y^{4}}{16})dydx[/mathjax].
Vyšlo mi to [mathjax]I_{y}=\frac{3Ma^{2}}{10}[/mathjax]. Nevíte někdo kde dělám chybu?
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Herefrei)
#2 08. 12. 2021 15:56 — Editoval MichalAld (08. 12. 2021 15:57)
Re: Moment setrvačnosti homogenní desky
Herefrei napsal(a):
... Dále jsem si spočítal obsah té plochy:
[mathjax]S=2\int_{0}^{a} ydx=2\int_{0}^{a} \sqrt{4a}dx=\frac{8a\sqrt{a}}{3}[/mathjax]
Tohle úplně nedává smysl, a mě to teda vyšlo poloviční. Ale počítal jsem to jako (přišlo mi to jednodušší než integrál z odmocniny).
[mathjax]S = 2 \int_{0}^{2\sqrt{a}} xdy = 2 \int_{0}^{2\sqrt{a}} \frac{y^2}{4}dy=2[\frac{y^3}{3*4}]_0^{2\sqrt{a}}[/mathjax]
Online
#3 08. 12. 2021 16:13
Re: Moment setrvačnosti homogenní desky
↑ MichalAld:
Mám tam chybu v zápise, má tam být integrál z [mathjax]\sqrt{4x}[/mathjax], ale ano vychází to poloviční. Ale pořád si nejsem jistý že to s tím vyjde.
Offline
#5 08. 12. 2021 18:12
Re: Moment setrvačnosti homogenní desky
↑ MichalAld:
Podle toho co mám napsáno v sešitě je moment setrvačnosti vzhledem k ose y
[mathjax]I_{y}=\int_{}^{}\int_{M}^{}x^{2}\sigma dxdy[/mathjax],
takže jestliže mám parabolu [mathjax]y^{2}=4x[/mathjax], pak [mathjax]x^{2}=\frac{y^{4}}{16}[/mathjax]
Offline
#6 09. 12. 2021 07:48
Re: Moment setrvačnosti homogenní desky
To je asi myšleno trochu jinak. Za x se nemá nic dosazovat...a pokud to chceš počítat jako dvojný integrál, tak tu křivku musíš dosadit jako meze toho vnitřního integrálu. Většinou se to ale dělá intuitivně z hlavy, a píše se to jen jako jeden integrál. Takže (jak bych to dělal já):
[mathjax]I_y =\sigma \int_0^a ( \int_{-2\sqrt{x}}^{2 \sqrt{x}} dy) x^2 dx[/mathjax]
Ten vnitřní integrál je prostě délka té čáry, kolmice k ose x, omezená tou hranicí.
Nejjednodušší je představit si to jako že plochu rozdělíš na úzké obdélníčky, jejichž šířka je dx a výška je omezená tou hranicí (v tomto případě funkcí [mathjax]y^2 = 4x[/mathjax], tedy [mathjax]y = \pm 2 \sqrt{x}[/mathjax]. Na to není potřeba integrál, to se dá udělat z hlavy, je to jen délka čáry, od [mathjax]y = - 2 \sqrt{x}[/mathjax] do [mathjax]y = + 2 \sqrt{x}[/mathjax], tedy [mathjax]y = 4 \sqrt{x}[/mathjax]. A pak můžeš tedy napsat rovnou
[mathjax]I_y =\sigma \int_0^a (4\sqrt{x}) x^2 dx[/mathjax]
Takto jednoduše to jde ovšem jen když je plošná hustota konstantní a lze ji "vyhodit" před integrál.
Tak to zkus a uvidíš, ono už je to nějakých 20 let, co jsem tohle počítal naposled, takže za to úplně neručím...
Online