Matematické Fórum

misickacz · 21. 06. 2009 18:20

Řada:
$\sum_{n=1}^{\propto}\frac{x^(3n)}{\sqrt{n}}$

-označte s(x) funkční hodnoty součtu řady v K (oboru konvergence) a určete hodnotu čísla
$d= \sum_{n=1}^{6} s^(n) (0)$
jde o n-tou derivaci z s v bodě 0.

Ze zadání jsem jsem moc nepochopila, co mám dělat. Můžete mi někdo, prosím, popsat postup možného řešení? Předem děkuji za pomoc.

Marian · 21. 06. 2009 22:33 — Editoval Marian (21. 06. 2009 22:33)

↑ misickacz:
Nejprve k zápisu v TeXu ... Pokud chceš mít c exponent více než jeden objekt, je potřeba exponent uzavřít do složených závorek, tedy třeba a^{x+y} dává $a^{x+y}$ . Tvé použití dává pak chybu (v exponentu je pouze první část). Řada, o kt. nám jde je patrně (pokud to správně čtu) tato
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{\sqrt{n}}.$
Pokud dále správně chápu, má symbol s(x) označovat součtovou funkci na oboru konvergence K. Co označuje $s^(n) (0)$ . Má být správně $s^{(n)}(0)$ , tj. derivace? Pak by řešení úlohy nemělo dělat problém.

Je nutné si uvědomit, že na oboru konvergence potenční řady je možné derivovat nekonečnou řadu člen po členu. Tj. bude:
$s^{\prime }(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x^{3n})^{\prime}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n\cdot x^{3n-1}}{\sqrt{n}}\qquad\Rightarrow\qquad s^{\prime}(0)=0.$
Podobně se ukáže, že i druhá derivace v nule je nulová. Uvědomíš si to třeba tak, že si napíšeš první dva členy původní řady, tj. (x^3)/(sqrt(1))+(x^6)/(sqrt(2))+... Potom je jasné, že třetí derivace bude rovna s''(0)=6. čtvrtá a pátá derivace bude zase nulová a šestou spočítáš jistě sama podobně. Sečtením těchto šesti čáísel dostaneš požadovanou hodnotu čísla "d".

misickacz · 22. 06. 2009 13:07

↑ Marian:

díky za pomoc, i co se týče TeXu :-)

Matematické Fórum

#1 21. 06. 2009 18:20

součet řady

#2 21. 06. 2009 22:33 — Editoval Marian (21. 06. 2009 22:33)

Re: součet řady

#3 22. 06. 2009 13:07

Re: součet řady

Zápatí