Matematické Fórum

↑ Richard Tuček:

K určení reziduí ale potřebuji znát násobnost pólu.

Na vašem webu mě to nechce pustit na konkrétní stránky - hlásí to "suspicious content".

Teď jde ještě o to, jestli počítám správně to reziduum
-pomohl jsem si Taylorovým rozvojem,

[mathjax]\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}[\frac{z.z^{2}}{sin(z).(1-cos(z))}][/mathjax]

[mathjax][\frac{z^{3}}{sin(z).(1-cos(z))}]=\frac{z^{3}}{(z-\frac{z^{3}}{6}+o(z^{3}))(1-1+\frac{z^{2}}{2}-\frac{z^{4}}{24}+o(z^{4})}[/mathjax]

[mathjax]=\frac{z^{3}}{\frac{z^{3}}{2}-\frac{3z^{5}}{24}+o(z^{5})}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3z^{2}}{24}+o(z^{2})}[/mathjax]

[mathjax]\frac{d}{dz}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3z^{2}}{24}+o(z^{2})}=-\frac{1.\frac{6z}{24}+o(z)}{(\frac{1}2{-\frac{z^{2}}{8}+o(z^{2}))^{2}}}[/mathjax]

[mathjax]\lim_{z\to0}(-\frac{1.\frac{6z}{24}+o(z)}{(\frac{1}2{-\frac{z^{2}}{8}+o(z^{2}))^{2}}})=0[/mathjax]

Nápad: zkouším počítat limitu:

[mathjax]\lim_{z\to0}\frac{1}{1-cos(z)}=\infty [/mathjax]

[mathjax]\lim_{z\to0}\frac{z}{1-cos(z)}=(\frac{0}{0})=\text{(l´Hospital)}=\lim_{z\to0}\frac{1}{sin(z)}=\infty [/mathjax]

[mathjax]\lim_{z\to0}\frac{z^2}{1-cos(z)}=(\frac{0}{0})=\text{(l´Hospital)=}\lim_{z\to0}\frac{2z}{sin(z)}=(\frac{0}{0})=\text{(l´Hospital)=}\lim_{z\to0}\frac{2}{cos(z)}=\frac{2}{1}=2[/mathjax]

Tedy konečná limita pro z^2, tedy násobnost pólu v 0 je dva. Ale nejsem si jistý korektností postupu.

Ještě se nabízí jiný "trik" - rozvoj cos(z) = [mathjax]\cos (z)=1-\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{4}}{4}+o(z^{6})[/mathjax]

a tedy

[mathjax]1-\cos (z)=1-1+\frac{z^{2}}{2}-\frac{z^{4}}{4}+o(z^{6})=\frac{z^{2}}{2}-\frac{z^{4}}{4}+o(z^{6})[/mathjax]

První nenulový člen v Taylorově rozvoji má mocninu 2, měl by to tedy být pól násobnosti 2.

Ale asi to taky není zrovna košer postup.

[mathjax]z=0[/mathjax]
[mathjax]\frac{z}{\sin z (1-\cos z)}=\frac{z}{(z-z^3/3!+...)(z^2/2-z^4/4!+...)}=\frac{2}{z^2}(1+z^2/6+...)(1+z^2/12+...)=\frac{2}{z^2}+\frac{1}{2}+...[/mathjax]
teda [mathjax]res = 0[/mathjax]

[mathjax]z=\pi \Rightarrow y=z-\pi=0[/mathjax]
[mathjax]\frac{y+\pi}{\sin(y+\pi)(1-\cos(y+\pi))}=\frac{y+\pi}{-\sin y(1+\cos y)} = \frac{\pi+y}{-(y-y^3/3!+...)(2-y^2/2+...)}=\frac{-1}{2y}(\pi+y)(1+y^2/6+...)(1+y^2/4+...) = \frac{-\pi}{2y}-\frac{1}{2}+...[/mathjax]
teda [mathjax]res = -\frac{\pi}{2}[/mathjax]

[mathjax]I = -\pi^2 i[/mathjax]

↑ Brano:

Ta nulovost rezidua v nule plyne z toho, že v rozvoji nevystupuje nenulový člen se "z" ve jmenovateli? Tedy člen [mathjax]a_{-1}[/mathjax]?

↑ Brano:

Na tom řešení přímého výpočtu rezidua rozvojem do Laurentovy řady je pěkné, že nemusím zjišťovat násobnost pólu.