Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 04. 2022 13:57

2M70
Příspěvky: 474
Reputace:   
 

Jordanův tvar- zadány hodnosti (ranky)

Takovéto dotazy tady nemají co dělat, nicméně s tímhle fakt nevím...

Matice A 20x20

Spektrum [mathjax]\{-3,1,6\}[/mathjax]

Dány hodnosti (ranky):

rank (A-E) = 18
rank ((A-E)^2) = 18

rank (A-6E) = 18
rank ((A-6E)^2) = 16
rank ((A-6E)^3) = 14
rank ((A-6E)^4) = 13
rank ((A-6E)^5) = 13

rank (A+3E) = 16
rank ((A+3E)^2) = 12
rank ((A+3E)^3) = 11
rank ((A+3E)^4) = 10
rank ((A+3E)^5) = 9
rank ((A+3E)^6) = 9 

A teď se z toho má určit Jordanův tvar matice.

Má vyjít

[mathjax]A=\text{diag}(J_{1,1},J_{1,1},J_{6,3},J_{6,4},J_{3,2}.J_{3,2}.J_{3,2}.J_{3,5})[/mathjax]

Kde první index je vlastní číslo, druhý je rozměr buňky.

Uvítám jakoukoli radu, pomoc. Omlouvám se, že porušuji pravidla fóra, ale tady mě nic nenapadá :-(

Offline

 

#2 24. 04. 2022 15:30

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 670
Reputace:   
Web
 

Re: Jordanův tvar- zadány hodnosti (ranky)

↑ 2M70:
Jordanova buňka má tvar:  na diagonále vlastní číslo (stejné prvky),
na diagonále nad hlavní diagonálou jsou jedničky:
Minimální polynom Jordanovy buňky (J(c;k) )je (lambda-c)^k
c - vlastní číslo, k rozměr buňky
hodnost (rank) (J(c;k) - c E) = k-1
umocněním matice J(c;k) - c E) hodnost klesne
O Jordanově tvaru matice je též na mém webu www.tucekweb.info

Offline

 

#3 24. 04. 2022 15:46

2M70
Příspěvky: 474
Reputace:   
 

Re: Jordanův tvar- zadány hodnosti (ranky)

↑ Richard Tuček:

Ty první 4 řádky jsou mi jasné, to znám.
Klíčové pro mě jsou tedy pravděpodobně řádek pátý a šestý.

Na Vašem webu mě nějaký bezpečnostní systém nechce pustit dál. Jinak bych si Vaše informace opravdu rád prostudoval.

Offline

 

#4 16. 05. 2022 11:24

zdubius
Zelenáč
Příspěvky: 16
Škola: FMFI UK
Reputace:   
 

Re: Jordanův tvar- zadány hodnosti (ranky)

↑ 2M70:
Ak [mathjax]\lambda[/mathjax] je vlastné číslo matice [mathjax]A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})[/mathjax], tak operátor (matica) [mathjax]A-\lambda E[/mathjax] je nilpotentný operátor na istom podpriestore v [mathjax]\mathbb{R}^n[/mathjax]. Z pohľadu hodností matíc [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] to znamená, že ich hodnosť bude so zväčšujúcim sa [mathjax]k[/mathjax] klesať až do nejakého momentu, kedy sa pokles zastaví a hodnosť sa už ďalej znižovať nebude. Rozdiel medzi rozmerom matice [mathjax]A[/mathjax] (ten je [mathjax]n[/mathjax]) a zistenou minimálnou hodnotou hodnosti [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] je dimenzia podpriestoru, na ktorom je operátor [mathjax]A-\lambda E[/mathjax] nilpotentný. Tento podpriestor nazývame invariantný podpriestor matice [mathjax]A[/mathjax] prislúchajúci vlastnému číslu [mathjax]\lambda[/mathjax] a celý priestor [mathjax]\mathbb{R}^n[/mathjax] je direktným súčtom invariantných podpriestorov prislúchajúcich všetkým vlastným číslam matice [mathjax]A[/mathjax] - ale to asi poznáš.

Ako znalosť hodností matíc [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] pomôže pri určení Jordanovho normálneho tvaru (JNT) matice [mathjax]A[/mathjax]:

Ako príklad si zoberieme vlastné číslo [mathjax]\lambda=6[/mathjax]. Na zvyšných si sám môžeš vyskúšať, či postup funguje. Zo zadania máme

        rank (A-6E)^0=20 [mathjax](=n)[/mathjax]
        rank (A-6E)^1=18
        rank (A-6E)^2=16
        rank (A-6E)^3=14
        rank (A-6E)^4=13
        rank (A-6E)^5=13

a) Postup "zdola":
- Pokles hodností matíc [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] sa zastavil na hodnote [mathjax]13[/mathjax]. Rozdiel medzi touto minimálnou hodnosťou a dimenziou celého priestoru je [mathjax]20-13=7[/mathjax], teda invariantný podpriestor prislúchajúci vl. číslu [mathjax]6[/mathjax] má dimenziu [mathjax]7[/mathjax]. Pre JNT matice [mathjax]A[/mathjax] to znamená, že číslo [mathjax]6[/mathjax] sa bude na diagonále vyskytovať 7-krát (zatiaľ však nevieme, v koľkých bunkách). 
- Platí nasledovné (rekurzívne) pravidlo (jeho platnosť vyplýva zo správania Jordanových buniek pri umocňovaní, viď postup 2): Nech [mathjax]m[/mathjax] je najmenšia hodnota [mathjax]k[/mathjax] taká, že matica [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] dosiahla svoju minimálnu hodnosť, a nech táto hodnosť je [mathjax]h[/mathjax]. Potom
1) Rozmer najväčšej Jordanovej bunky v JNT matice [mathjax]A[/mathjax] je [mathjax]m[/mathjax]
2) [mathjax]rank (A-\lambda E)^{m-1}-h[/mathjax] je počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m[/mathjax]
    [mathjax]rank (A-\lambda E)^{m-2}-h[/mathjax] je 2x počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m[/mathjax] + počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m-1[/mathjax]
    [mathjax]rank (A-\lambda E)^{m-3}-h[/mathjax] je 3x počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m[/mathjax] + 2x počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m-1[/mathjax] + počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m-2[/mathjax]
    atď.
Pre náš konkrétny prípad:
Hodnota k, pri ktorej hodnosť matice [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] prvýkrát dosiahla svojho minima, je [mathjax]4[/mathjax]. Z toho dostávame, že rozmer najväčšej Jordanovej bunky s vl. číslom [mathjax]6[/mathjax] bude [mathjax]4[/mathjax].
[mathjax]rank (A-6E)^{3}-h=14-13=1[/mathjax], teda JNT matice [mathjax]A[/mathjax] bude na diagobále obsahovať jednu Jordanovu bunku rozmeru [mathjax]4[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^{2}-h=16-13=3[/mathjax], a keďže z predch. vieme, že počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]4[/mathjax] je [mathjax]1[/mathjax], dostávame, že JNT matice [mathjax]A[/mathjax] bude mať na diagonále jednu bunku rozmeru [mathjax]3[/mathjax]
V tomto momente je úloha kompletná, pretože vl. číslo [mathjax]6[/mathjax] sa na diagonále vyskytuje 7-krát a práve sme zistili, že mu budú zodpovedať bunky [mathjax]J_{6,3}[/mathjax] a [mathjax]J_{6,4}[/mathjax]

b) Postup "zhora"
Tento postup vychádza z pozorovania, že hodnosť Jordanovej bunky [mathjax](J_{\lambda ,m}-\lambda E_{m})^k=(J_{0,m})^k[/mathjax] pri umocňovaní na [mathjax]k=0,1,2,\dots[/mathjax] klesá o vždy jednotku až po [mathjax]k=m[/mathjax], kedy je bunka už identicky rovná nulovej matici a teda jej hodnosť nemá kam ďalej klesať. Toto [mathjax]m[/mathjax] potom určuje rozmer príslušnej bunky.
[mathjax]rank (A-6E)^1=18[/mathjax], priestor riešeni matice [mathjax] (A-6E)=0[/mathjax] bude teda dvojrozmerný vektorový priestor. Jeho báza obsahuje dva prvky, ktoré sú vlastnými vektormi prislúchajúcimi k vl. číslu [mathjax]6[/mathjax]. Pre JNT matice [mathjax]A[/mathjax] to znamená, že na diagonále budú dve Jordanove bunky zodpovedajúce vl. číslu [mathjax]6[/mathjax] (zatiaľ nevieme ich rozmery)
[mathjax]rank (A-6E)^2=16[/mathjax] Hodnosť matice klesla o [mathjax]2[/mathjax], teda sa znížila hodnosť oboch Jordanových buniek. Ich rozmer je teda minimálne [mathjax]2[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^3=14[/mathjax] Hodnosť opäť klesla o [mathjax]2[/mathjax], teda obe bunky budú rozmeru minimálne [mathjax]3[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^4=13[/mathjax] Hodnosť klesla iba o jednotku. To znamená, že jedna bunka už musela byť identicky nulová, a teda jej rozmer bol [mathjax]3[/mathjax]. Druhá bunka, ktorej hodnosť klesla, má rozmer minimálne [mathjax]4[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^5=13[/mathjax] Hodnosť už ďalej neklesá. Aj druhá bunka musela byť identicky nulová, tým pádom jej rozmer je [mathjax]4[/mathjax].  JNT matice [mathjax]A[/mathjax] teda obsahuje na diagonále dve bunky prislúchajúce vl. číslu [mathjax]6[/mathjax], a to [mathjax]J_{6,3}[/mathjax] a [mathjax]J_{6,4}[/mathjax]


Oba postupy je možné pochopiteľne kombinovať (v skutočnosti hovoria to isté), čím si zjednodušíš prácu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson