Matematické Fórum

↑ 2M70:
Jordanova buňka má tvar:  na diagonále vlastní číslo (stejné prvky),
na diagonále nad hlavní diagonálou jsou jedničky:
Minimální polynom Jordanovy buňky (J(c;k) )je (lambda-c)^k
c - vlastní číslo, k rozměr buňky
hodnost (rank) (J(c;k) - c E) = k-1
umocněním matice J(c;k) - c E) hodnost klesne
O Jordanově tvaru matice je též na mém webu www.tucekweb.info

↑ 2M70:
Ak [mathjax]\lambda[/mathjax] je vlastné číslo matice [mathjax]A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})[/mathjax], tak operátor (matica) [mathjax]A-\lambda E[/mathjax] je nilpotentný operátor na istom podpriestore v [mathjax]\mathbb{R}^n[/mathjax]. Z pohľadu hodností matíc [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] to znamená, že ich hodnosť bude so zväčšujúcim sa [mathjax]k[/mathjax] klesať až do nejakého momentu, kedy sa pokles zastaví a hodnosť sa už ďalej znižovať nebude. Rozdiel medzi rozmerom matice [mathjax]A[/mathjax] (ten je [mathjax]n[/mathjax]) a zistenou minimálnou hodnotou hodnosti [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] je dimenzia podpriestoru, na ktorom je operátor [mathjax]A-\lambda E[/mathjax] nilpotentný. Tento podpriestor nazývame invariantný podpriestor matice [mathjax]A[/mathjax] prislúchajúci vlastnému číslu [mathjax]\lambda[/mathjax] a celý priestor [mathjax]\mathbb{R}^n[/mathjax] je direktným súčtom invariantných podpriestorov prislúchajúcich všetkým vlastným číslam matice [mathjax]A[/mathjax] - ale to asi poznáš.

Ako znalosť hodností matíc [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] pomôže pri určení Jordanovho normálneho tvaru (JNT) matice [mathjax]A[/mathjax]:

Ako príklad si zoberieme vlastné číslo [mathjax]\lambda=6[/mathjax]. Na zvyšných si sám môžeš vyskúšať, či postup funguje. Zo zadania máme

        rank (A-6E)^0=20 [mathjax](=n)[/mathjax]
        rank (A-6E)^1=18
        rank (A-6E)^2=16
        rank (A-6E)^3=14
        rank (A-6E)^4=13
        rank (A-6E)^5=13

a) Postup "zdola":
- Pokles hodností matíc [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] sa zastavil na hodnote [mathjax]13[/mathjax]. Rozdiel medzi touto minimálnou hodnosťou a dimenziou celého priestoru je [mathjax]20-13=7[/mathjax], teda invariantný podpriestor prislúchajúci vl. číslu [mathjax]6[/mathjax] má dimenziu [mathjax]7[/mathjax]. Pre JNT matice [mathjax]A[/mathjax] to znamená, že číslo [mathjax]6[/mathjax] sa bude na diagonále vyskytovať 7-krát (zatiaľ však nevieme, v koľkých bunkách). 
- Platí nasledovné (rekurzívne) pravidlo (jeho platnosť vyplýva zo správania Jordanových buniek pri umocňovaní, viď postup 2): Nech [mathjax]m[/mathjax] je najmenšia hodnota [mathjax]k[/mathjax] taká, že matica [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] dosiahla svoju minimálnu hodnosť, a nech táto hodnosť je [mathjax]h[/mathjax]. Potom
1) Rozmer najväčšej Jordanovej bunky v JNT matice [mathjax]A[/mathjax] je [mathjax]m[/mathjax]
2) [mathjax]rank (A-\lambda E)^{m-1}-h[/mathjax] je počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m[/mathjax]
    [mathjax]rank (A-\lambda E)^{m-2}-h[/mathjax] je 2x počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m[/mathjax] + počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m-1[/mathjax]
    [mathjax]rank (A-\lambda E)^{m-3}-h[/mathjax] je 3x počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m[/mathjax] + 2x počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m-1[/mathjax] + počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]m-2[/mathjax]
    atď.
Pre náš konkrétny prípad:
Hodnota k, pri ktorej hodnosť matice [mathjax](A-\lambda E)^k, k=0,1,2,\dots[/mathjax] prvýkrát dosiahla svojho minima, je [mathjax]4[/mathjax]. Z toho dostávame, že rozmer najväčšej Jordanovej bunky s vl. číslom [mathjax]6[/mathjax] bude [mathjax]4[/mathjax].
[mathjax]rank (A-6E)^{3}-h=14-13=1[/mathjax], teda JNT matice [mathjax]A[/mathjax] bude na diagobále obsahovať jednu Jordanovu bunku rozmeru [mathjax]4[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^{2}-h=16-13=3[/mathjax], a keďže z predch. vieme, že počet Jordanových buniek rozmeru [mathjax]4[/mathjax] je [mathjax]1[/mathjax], dostávame, že JNT matice [mathjax]A[/mathjax] bude mať na diagonále jednu bunku rozmeru [mathjax]3[/mathjax]
V tomto momente je úloha kompletná, pretože vl. číslo [mathjax]6[/mathjax] sa na diagonále vyskytuje 7-krát a práve sme zistili, že mu budú zodpovedať bunky [mathjax]J_{6,3}[/mathjax] a [mathjax]J_{6,4}[/mathjax]

b) Postup "zhora"
Tento postup vychádza z pozorovania, že hodnosť Jordanovej bunky [mathjax](J_{\lambda ,m}-\lambda E_{m})^k=(J_{0,m})^k[/mathjax] pri umocňovaní na [mathjax]k=0,1,2,\dots[/mathjax] klesá o vždy jednotku až po [mathjax]k=m[/mathjax], kedy je bunka už identicky rovná nulovej matici a teda jej hodnosť nemá kam ďalej klesať. Toto [mathjax]m[/mathjax] potom určuje rozmer príslušnej bunky.
[mathjax]rank (A-6E)^1=18[/mathjax], priestor riešeni matice [mathjax] (A-6E)=0[/mathjax] bude teda dvojrozmerný vektorový priestor. Jeho báza obsahuje dva prvky, ktoré sú vlastnými vektormi prislúchajúcimi k vl. číslu [mathjax]6[/mathjax]. Pre JNT matice [mathjax]A[/mathjax] to znamená, že na diagonále budú dve Jordanove bunky zodpovedajúce vl. číslu [mathjax]6[/mathjax] (zatiaľ nevieme ich rozmery)
[mathjax]rank (A-6E)^2=16[/mathjax] Hodnosť matice klesla o [mathjax]2[/mathjax], teda sa znížila hodnosť oboch Jordanových buniek. Ich rozmer je teda minimálne [mathjax]2[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^3=14[/mathjax] Hodnosť opäť klesla o [mathjax]2[/mathjax], teda obe bunky budú rozmeru minimálne [mathjax]3[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^4=13[/mathjax] Hodnosť klesla iba o jednotku. To znamená, že jedna bunka už musela byť identicky nulová, a teda jej rozmer bol [mathjax]3[/mathjax]. Druhá bunka, ktorej hodnosť klesla, má rozmer minimálne [mathjax]4[/mathjax]
[mathjax]rank (A-6E)^5=13[/mathjax] Hodnosť už ďalej neklesá. Aj druhá bunka musela byť identicky nulová, tým pádom jej rozmer je [mathjax]4[/mathjax].  JNT matice [mathjax]A[/mathjax] teda obsahuje na diagonále dve bunky prislúchajúce vl. číslu [mathjax]6[/mathjax], a to [mathjax]J_{6,3}[/mathjax] a [mathjax]J_{6,4}[/mathjax]


Oba postupy je možné pochopiteľne kombinovať (v skutočnosti hovoria to isté), čím si zjednodušíš prácu.