Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 06. 2022 11:43

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Neplatné tvrzení B ani nonB

Ahoj,
mějme v teorii grup tvrzení B tvaru [mathjax](\forall x,y) x.y=y.x[/mathjax].
Podle mě neplatí ani B ani nonB, protože existují grupy, ve kterých B platí a jiné grupy, ve kterých B neplatí.
S tím souvisí: Je B vůbec platná logická formule? Podle mě ano - za "universum" bereme prostě prvky celé grupy, kterou zkoumáme.
Podle mě by bylo lepší používat i proměnné pro grupy a pak by se muselo říct, že B (nebo nonB) platí pro každou grupu a pak už je jasné, že by ani B ani nonB pro každou grupu neplatí, ale už by jedno tvrzení nebylo negací druhého, protože obě by začínala "pro každou grupu platí ..." Ale to už bychom nebyli v logice prvního řádu, protože bychom měli proměnné pro grupy a proměnné pro prvky grup...

Takže mi z toho vychází, že bude existovat mnoho tvrzení, pro která neplatí ani B ani nonB. Což ve světlo řečeného výše není tak nečekané, protože grup existuje celá řada. Jiná věc je u teorie přirozených čísel, kdy se tak nějak očekává, že máme na mysli vždy jen "jednu" strukturu přirozených čísel a nikoli větší množství takových struktur - podle mě chceme vždy zkoumat jen tu jednu (na rozdíl od grup). Ale to že máme nestandardní modely přirozených čísel, pak má za následek i větu o neúplnosti. Ale to je dáno tím, že abychom rozhodli co je ve standardním modelu platné tvrzení (což samo o sobě není triviální rozhodnout), tak se uchylujeme k pojmům formálních důkazů a pojmům splnitelnosti v modelech a tedy používáme "silnější" prostředky než potřebujeme (vznikají nám i nestandardní modely, které nás "nezajímají"), což má pak za následek větu o neúplnosti.

Ony ty nestandardní modely přirozených čísel využití mají, např. v nestandardní analýze, ale to je dáno tím, že formální teorie důkazů nám to povoluje. Pokud bychom pracovalijen ve "standarním" modelu, tak nic takového nebude, ani věta o neúplnosti nebude, ale zas by bylo složité říct, zda dané tvrzení platí nebo ne, k tomu právěpotřebujeme ten důkaz... Ale u konečných struktur si bez formálního důkazu podle mě vystačíme, i když budeme bojovat s technickými problémy, když bude ta struktura mít mnoho členů a budeme se snažit ověřit nějaký obecný výrok...

je to spíš téma pro diskusi...


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#2 16. 06. 2022 15:10

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

↑ check_drummer:

Ahoj,

na sdělení

"mějme v teorii grup tvrzení B tvaru [mathjax]\forall x,y: xy=yx[/mathjax] "

se lze dívat dvojím způsobem:

1) Obrat "teorie grup" nepatří do jazyka teorie grup. Je to formule metajazyka, takže sdělení není výrokem a o jeho pravdivosti nemá smysl rozhodovat

anebo

2) Pojem "teorie grup" chápeme formálně, tj. je definována abeceda, jazyk, atd. Pak ovšem  B není výrok, ale pouze výroková forma. Aby to byl výrok, musíš buď říct, kterou grupu konkrétně myslíš, anebo to napsat jako existenční, anebo obecný výrok.  Tj. buď  "existuje grupa...", anebo "pro každou grupu..." Existenční výrok je pravdivý, obecný je nepravdivý.

Je to totéž, jako kdybys měl "formuli"

B: Přirozená čísla jsou dělitelná pěti"

a tvrdil, že neplatí ani B, ani non B, protože pro některá čísla to platí a pro jiná ne.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 16. 06. 2022 19:21

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

↑ Eratosthenes:
K 1) Formule metajazyka to není, pokud budeme postupovat jak se to běžně dělá, tj. zvolíme nějakou množinu výroků, o které prohlásíme, že to jsou axiomy této teorie a následně z těchto axiomů již odvozujeme další tvrzení. Tedy v našem případě bychom žádný metavýrok nepoužili, prostě máme axiomy teorie grup a z nich odvozueme další platná tvrzení. A tedy se můžeme ptát, zda lze z těchto axiomů odvodit i náš výrok B nebo náš výrok nonB. Podle mě nelze odvodit ani jeden.

K 2) S těmi přirozenými čísly to bude trochu jinak, v teorii grup je universum "grupa" a nikoli "množina všech grup" a u přirozených čísel je universum "množina všech přirozených čísel", tedy tvůj výrok B by měl tvar:
[mathjax](\forall x)(\exists y)(x=5.y)[/mathjax]
A ten je nepravdivý. Ale do formálního důkazu se pouštět nebudu. :-)

Ale jak jsem řekl, u grup je situace jiná než u přirozených čísel. Grup máme celou řadu, ale přirozená čísla máme jen "jedna".

Pak je ale otázka, jak v teorii grup zformulovat třeba pojem podgrupy, normální grupy, apod. Sice přes grupy kvantifikovat nebudeme, ale musíme zavést do jazka nějaké symboly pro grupy, aby bylo možné ty definice zformulovat...

Největší obtíž mi při přechodu do formální logiky dělalo, že u kvantifikovaných výroků neříkáme, z jaké množiny ta proměnné je, prostě se kvantifikuje jako [mathjax](\forall x)[/mathjax] a nikoli jako [mathjax](\forall x \in A)[/mathjax]. A ta proměnná se uvažuje, že je z celého universa.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#4 16. 06. 2022 20:41 — Editoval Eratosthenes (16. 06. 2022 20:54)

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

↑ check_drummer:

>> V teorii grup je universum "grupa" a nikoli "množina všech grup"

A to máš proboha odkud ??????????????

Dost si pleteš jedno jabko s košem jablek. Nikde nemluvím o množině přirozených čísel. Takže je-li tvým univerzem grupa, mým univerzem je přirozené číslo.

>>  Největší obtíž mi při přechodu do formální logiky dělalo, že u kvantifikovaných výroků neříkáme, z jaké množiny ta proměnné je

Pokud si to myslíš, pak jsi se v logice moc daleko nedostal. Omezené kvantifikátory tam lze normálně používat.

Zavedeš prostě úmluvu, ža formuli

[mathjax]\forall x: x\in A \Rightarrow \varphi (x) [/mathjax]

budeš zkracovat na

[mathjax]\forall x\in A: \varphi (x) [/mathjax]


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#5 16. 06. 2022 23:13

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4179
Reputace:   111 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

No já bych řekl, že to buď platí pro každé x,y, nebo to neplatí pro každé x,y. Buď to platí vždycky, nebo to neplatí vždycky. Říkáš, že existují grupy kde to platí a kde to neplatí - z toho mi přijde celkem zřjemé, že to vždycky neplatí. Tedy to neplatí. A to že to platí někdy je irelevantní.

Offline

 

#6 16. 06. 2022 23:17

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4179
Reputace:   111 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

Jinak tuším existuje něco jako axiom o vyloučeném třetím, výrok může buď platit nebo neplatit, nic jiného není možné. Pokud výrok neplatí, tak jeho negace musí platit, protože to je vlastně tvrzení, že "není pravda, že výrok platí".

A pokud o platnosti nelze rozhodnout, tak to není výrok. To se asi může stát, když třeba není v rámci výroku jasné, co přesně jsou ta x,y.

Offline

 

#7 16. 06. 2022 23:29

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

↑ MichalAld:

Řekl bys to zcela správně. Jak jsem psal - ↑ Eratosthenes: v bodě 2 - tak, jak je to zadáno, nemá smysl o pravdivosti rozhodovat, protože to není výrok - chybí tam kvantifikátor. Takže buď

a) Existuje grupa, ve které platí...
    Existuje přiozené číslo, které je pětinásobkem....
                                                            (to je pravda)

anebo

b) V každé grupě platí...
    Každé přirozené číslo je pětinásobkem....
                                                             (to je nepravda)

To jsou zcela elementární základy predikátové logiky.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 17. 06. 2022 10:33

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

>> V teorii grup je universum "grupa" a nikoli "množina všech grup"

A to máš proboha odkud ??????????????

Dost si pleteš jedno jabko s košem jablek. Nikde nemluvím o množině přirozených čísel. Takže je-li tvým univerzem grupa, mým univerzem je přirozené číslo.

Pokud je tvým univerzem množina grup a nikoli grupa, pak už nejsi v predikátové logice prvního řádu, protože můžeš kvatifikovat grupy i prvky grup. A pokud to jako v teorii množin nechceš rozlišovat a mít společné proměnné pro grupy i pro jejich prvky, pak je otázka, co je to např. x.y.

Napiš mi tedy čemu podle tebe odpovídají proměnné v teorii grup. Grupám? Prvkům grup? Obojímu?



Eratosthenes napsal(a):

>>  Největší obtíž mi při přechodu do formální logiky dělalo, že u kvantifikovaných výroků neříkáme, z jaké množiny ta proměnné je

Pokud si to myslíš, pak jsi se v logice moc daleko nedostal. Omezené kvantifikátory tam lze normálně používat.

Zavedeš prostě úmluvu, ža formuli

[mathjax]\forall x: x\in A \Rightarrow \varphi (x) [/mathjax]

budeš zkracovat na

[mathjax]\forall x\in A: \varphi (x) [/mathjax]

To co píšeš se týká teorie množin. Jsou teorie (resp. jim příslišné jazyky), kde nemáš symbol [mathjax]\in[/mathjax]. Řekl bych že třeba v aritmeticenebo teorii grup ten symbol nemáš.

Předpokládám, že něco víš o syntaxi, sémantice, teorii důkazů, větách o úplnosti a neúplnosti. Abychom se nebavili o středoškolské logice, protože ta je o dost jiná (zjednodušená a ne zcela přesná) než formální logika.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#9 17. 06. 2022 10:36 — Editoval check_drummer (18. 06. 2022 12:31)

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

MichalAld napsal(a):

Jinak tuším existuje něco jako axiom o vyloučeném třetím, výrok může buď platit nebo neplatit, nic jiného není možné. Pokud výrok neplatí, tak jeho negace musí platit, protože to je vlastně tvrzení, že "není pravda, že výrok platí".

A pokud o platnosti nelze rozhodnout, tak to není výrok. To se asi může stát, když třeba není v rámci výroku jasné, co přesně jsou ta x,y.

To je asle středoškolský přístup. Spíš než o platnosti je lepší mluvit o dokazatelnosti. A tady máme věty o úplnosti, kde nemusí být dokazatelný ani výrok X ani jeho negace....

Píšu o tom jide - přirozenější je pojem splnitelnosti - pak opravdu platí, že daná formule je nebo není splnitelná (Edit: V jednom konkrétním modeluí). Ale nemáme mechanismy jak splnitelnost ověřit, tak se uchylujeme k důkazům, k modelům a tím vznikají všechny ty "problémy" o kterých píšu.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#10 17. 06. 2022 10:48 — Editoval check_drummer (17. 06. 2022 10:49)

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

↑ MichalAld: ↑ Eratosthenes:

Je vám jasný rozdíl mezi dokazatelností a splnitelností? Sytaxí a sémantikou? To jsou ty základní pojmy, nad kterými běží celá diskuse.

Středoškolská matematika je okleštěná v tom, že implicitně uvažuje jeden pevný model, a tam samozřejmě formule buď je nebo není splnitelná ("pravdivá"). A důkazy se do toho tak nějak naroubují.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#11 17. 06. 2022 11:03

check_drummer
Příspěvky: 3539
Reputace:   91 
 

Re: Neplatné tvrzení B ani nonB

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

>> V teorii grup je universum "grupa" a nikoli "množina všech grup"

A to máš proboha odkud ??????????????

Dost si pleteš jedno jabko s košem jablek. Nikde nemluvím o množině přirozených čísel. Takže je-li tvým univerzem grupa, mým univerzem je přirozené číslo.

Ještě mi napiš nějaký příklad modelu teorie grup. Podel toho se asi mnohé vyjasní.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson