Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Ahoj,

na sdělení

"mějme v teorii grup tvrzení B tvaru [mathjax]\forall x,y: xy=yx[/mathjax] "

se lze dívat dvojím způsobem:

1) Obrat "teorie grup" nepatří do jazyka teorie grup. Je to formule metajazyka, takže sdělení není výrokem a o jeho pravdivosti nemá smysl rozhodovat

anebo

2) Pojem "teorie grup" chápeme formálně, tj. je definována abeceda, jazyk, atd. Pak ovšem  B není výrok, ale pouze výroková forma. Aby to byl výrok, musíš buď říct, kterou grupu konkrétně myslíš, anebo to napsat jako existenční, anebo obecný výrok.  Tj. buď  "existuje grupa...", anebo "pro každou grupu..." Existenční výrok je pravdivý, obecný je nepravdivý.

Je to totéž, jako kdybys měl "formuli"

B: Přirozená čísla jsou dělitelná pěti"

a tvrdil, že neplatí ani B, ani non B, protože pro některá čísla to platí a pro jiná ne.

↑ check_drummer:

>> V teorii grup je universum "grupa" a nikoli "množina všech grup"

A to máš proboha odkud ??????????????

Dost si pleteš jedno jabko s košem jablek. Nikde nemluvím o množině přirozených čísel. Takže je-li tvým univerzem grupa, mým univerzem je přirozené číslo.

>>  Největší obtíž mi při přechodu do formální logiky dělalo, že u kvantifikovaných výroků neříkáme, z jaké množiny ta proměnné je

Pokud si to myslíš, pak jsi se v logice moc daleko nedostal. Omezené kvantifikátory tam lze normálně používat.

Zavedeš prostě úmluvu, ža formuli

[mathjax]\forall x: x\in A \Rightarrow \varphi (x) [/mathjax]

budeš zkracovat na

[mathjax]\forall x\in A: \varphi (x) [/mathjax]

Jinak tuším existuje něco jako axiom o vyloučeném třetím, výrok může buď platit nebo neplatit, nic jiného není možné. Pokud výrok neplatí, tak jeho negace musí platit, protože to je vlastně tvrzení, že "není pravda, že výrok platí".

A pokud o platnosti nelze rozhodnout, tak to není výrok. To se asi může stát, když třeba není v rámci výroku jasné, co přesně jsou ta x,y.

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

>> V teorii grup je universum "grupa" a nikoli "množina všech grup"

A to máš proboha odkud ??????????????

Dost si pleteš jedno jabko s košem jablek. Nikde nemluvím o množině přirozených čísel. Takže je-li tvým univerzem grupa, mým univerzem je přirozené číslo.

Pokud je tvým univerzem množina grup a nikoli grupa, pak už nejsi v predikátové logice prvního řádu, protože můžeš kvatifikovat grupy i prvky grup. A pokud to jako v teorii množin nechceš rozlišovat a mít společné proměnné pro grupy i pro jejich prvky, pak je otázka, co je to např. x.y.

Napiš mi tedy čemu podle tebe odpovídají proměnné v teorii grup. Grupám? Prvkům grup? Obojímu?

Eratosthenes napsal(a):

>>  Největší obtíž mi při přechodu do formální logiky dělalo, že u kvantifikovaných výroků neříkáme, z jaké množiny ta proměnné je

Pokud si to myslíš, pak jsi se v logice moc daleko nedostal. Omezené kvantifikátory tam lze normálně používat.

Zavedeš prostě úmluvu, ža formuli

[mathjax]\forall x: x\in A \Rightarrow \varphi (x) [/mathjax]

budeš zkracovat na

[mathjax]\forall x\in A: \varphi (x) [/mathjax]

To co píšeš se týká teorie množin. Jsou teorie (resp. jim příslišné jazyky), kde nemáš symbol [mathjax]\in[/mathjax]. Řekl bych že třeba v aritmeticenebo teorii grup ten symbol nemáš.

Předpokládám, že něco víš o syntaxi, sémantice, teorii důkazů, větách o úplnosti a neúplnosti. Abychom se nebavili o středoškolské logice, protože ta je o dost jiná (zjednodušená a ne zcela přesná) než formální logika.

↑ MichalAld: ↑ Eratosthenes:

Je vám jasný rozdíl mezi dokazatelností a splnitelností? Sytaxí a sémantikou? To jsou ty základní pojmy, nad kterými běží celá diskuse.

Středoškolská matematika je okleštěná v tom, že implicitně uvažuje jeden pevný model, a tam samozřejmě formule buď je nebo není splnitelná ("pravdivá"). A důkazy se do toho tak nějak naroubují.