Matematické Fórum

↑ wercuska:
Podívej se na Obrázek a uvaž
1. jaká je vzdálenost S1 a průsečíku tečny se spojnicí bodů S1 S2
2. využij podobnosti trojúhelníků

↑ marnes:

Veď to - preto som sa pýtala na upresnenie zadania :-)

↑ marnes:
Tady je ten nový obrázek

↑ Honzc:

Hezký den.

Řekl bych, že obrázek v odkazu kolegy ↑ Honzc: lze považovat za znázornění Soddyho kružnic trojúhelníka (Odkaz) v případě,  kdy poloměr jedné ze tří kružnic roste nade všechny meze (a její křivost -> 0).

Je vyřešen postup výpočtu "vnitřní Soddyho kružnice" (úlohu vyřešil i slavný chemik Soddy):

Označme jako a, b, c (známé) křivosti tří základních Soddyho kružnic a jako x (neznámou) křivost vnitřní Soddyho kružnice.

Pak x = a+b+c + 2√(ab+bc+ac)

V úloze jsou zadány dvě kružnice s křivostmi a = 1, b = 0.25, křivost c = 0. Takže

x = 1+0.25 + 2√0.25 = 2.25 a poloměr r = 1/2.25 = 0.444... jednotek, což by mělo být řešením úlohy podle dotazu.

Tento trik je užit k řešení v principu analogické úlohy v brožuře  rekreační matematiky:  Dobrovolný - Nové matematické rekreace

↑ Jj:
Zdravím,
já jsem mezitím odvodil vzoreček  (viz.obrázek)
Je  stejný, protože se dá upravit do stejného tvaru
Uvažoval jsem, že vzdálenost středu té třetí kružnice od tečny je její poloměr.
Tedy
[mathjax]r_{3}=\frac{r_{2}r_{1}(r_{2}+r_{1}-2\sqrt{r_{2}r_{1}})}{(r_{2}-r_{1})^{2}}=\frac{r_{1}r_{2}}{(r_{1}+r_{2}+2\sqrt{r_{1}r_{2}})}[/mathjax] nebo [mathjax]\frac{1}{\sqrt{r_{3}}}=\frac{1}{\sqrt{r_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{r_{2}}}[/mathjax]

Poloměr r3 je možné zkonstruovat pomocí "pravítka a kružítka" s využitím Eukl.v. o výšce a několikanásobného použití 4.gem.úměrné

↑ Jj:
Jinak Tady je to pěkně odvozeno (našel jsem až po tom co jsem to vypočítal)

↑ Jj:
Na Obrázku je výpočet a konstrukce (podle mě geniálně jednoduchá) obecného případu dané úlohy. (nemám totiž rád nedořešené příklady)

↑ wercuska:

Je to vlastně Apolloniova úloha kkp. Lze řešit i kruhovou inverzí.