Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Dobry den, omlouvam se za jednoduchy dotaz, ale kdyz mam otevreny interval (0,+nekonecno); tak:
infimum intervalu je 0
minimum intervalu neexistuje
supremum intervalu je +nekonecno
maximum intervalu je +nekonecno? Nebo se rika, ze neexistuje?
Dekuju moc za potvrzeni
Offline
A výraz "supremum intervalu je [mathjax]+\infty[/mathjax]" je taky asi spíš básnickým obratem, protože [mathjax]+\infty[/mathjax] prostě do množiny reálných čísel nepatří.
Nebylo by lepší říct, že supremum taky neexistuje?
Protože podle mě ten zápis intervalu (x, [mathjax]+\infty[/mathjax]) prostě znamená, že shora ten interval není ohraničený, a né že je ohraničený hodnotou [mathjax]+\infty[/mathjax].
Offline
↑ MichalAld:
Takže žápis (0;1) taky znamená, že interval není ohraničený nulou a jedničkou, protože prostě nula a jednička do toho intervalu nepatří?
Offline
↑ Eratosthenes:
Treba pozrieť definície.
Myslím, že ohraničenie je z definície číslo a nekonečno číslo nie je...
Offline
↑ misaH:
Ohraničení úsečky určitě není číslo. Ohraničení množiny je prvek nějaké množiny. [mathjax]\pm \infty [/mathjax] jsou prvky množiny [mathjax]\mathbb{R} \cup \{ +\infty;-\infty\}[/mathjax], se kterou se v analýze běžně pracuje.
Offline
↑ vlado_bb:
A kdybych byl hnidopich, řeknu, že záleží ještě na tom, jak je ta množina uspořádaná. Může to třeba být množina [mathjax](\mathbb{R};\ll )[/mathjax], kde [mathjax]x\ll y \Leftrightarrow x>y[/mathjax] . Pak pro (0;1) bude infimum jednička a supremum nula :-)
Offline
Eratosthenes napsal(a):
Ohraničení množiny je prvek nějaké množiny. [mathjax]\pm \infty [/mathjax] jsou prvky množiny [mathjax]\mathbb{R} \cup \{ +\infty;-\infty\}[/mathjax], se kterou se v analýze běžně pracuje.
Já to nerozporuji, nejsem nakonec matematik. Jen mi není úplně jasný ten výraz "běžně pracuje". Protože většina běžných věcí, co můžeme dělat s reálnými čísly, už s těmi nekonečny provádět nejde.
Vlastně ani nedokážu rozhodnout, jestli věta "supremum množiny R je +nekonečno" je tvrzením, nebo definicí (toho "nekonečna").
Stejně tak nedokážu odpovědět na řadu dalších jednoduchých otázek - třeba jestli je to nekonečno co uzavírá množinu reálných čísel to samé nekonečno, které uzavírá množinu celých čísel.
Ty říkáš, že se to "běžně používá" ... k čemu se to vlastně běžně používá? Já vím jen o dvou použití nekonečen ... a to pro zápis těch intervalů, a při výpočtu limit ... a v obou případech to lze bez jakékoliv ztráty kytičky nahradit představou, že množina není omezená ničím.
Třeba pro označení mohutnosti množiny není symbol nekonečna úplně použitelný, a používají se na to jiné symboly, co vím (ve smyslu "není nekonečno jako nekonečno").
Zatím mi nejparadoxnější připadá to nekonečno uzavírající množinu přirozených čísel. Protože každé přirozené číslo má svůj prvočíselný rozklad, který by měl být jednoznačný. Ale to nekonečno má takových rozkladů více ... dokonce o hodně více, protože množina všech možných rozkladů nekonečna na součin prvočísel má větší mohutnost než je ta množina přirozených čísel...
Offline
osman napsal(a):
Obávám se, že supremum intervalu [mathjax](0,+\infty )[/mathjax] neexistuje, protože tento interval není shora omezený
Mě to tak taky přijde...
Klidně bychom ten interval mohli psát i bez "ležadé osmičky", prostě třeba (0, ...
aby bylo jasné, že je omezený jen z jedné strany. To je vlastně problém matematiků, že si zavedli jen intervaly omezené z obou stran, a pak si museli vymyslet speciální symboly pro to, aby dokázali zapsat i intervaly omezené jen z jedné strany...
Offline
↑ MichalAld:
Hm... symbol [mathjax]\infty[/mathjax] byl vymyšlen proto, aby bylo možné zapsat interval?
Tak to je fakt síla....
Offline
Doporučuju pěkný článek o nekonečnech, vyšel ve Vesmíru:
https://vesmir.cz/cz/casopis/archiv-cas … necna.html
Offline
Offline
Mě vždy fascinuje jak se dá dlouho debatovat nad pojmy, u kterých není uvedena jejich definice. :-)
Offline
↑ MichalAld:
R* podle mě nebude těleso, ty nekonečna se tam přidávají proto, aby se daly hezky formulovat věty o limitách, ale jinak se tím zprasí zas jiné vlastnosti...
Offline
↑ MichalAld: Ano. Stejne jako obecne neplati [mathjax]\lim (a_n + 1)\gt \lim a_n[/mathjax].
Offline
osman napsal(a):
Obávám se, že supremum intervalu [mathjax](0,+\infty )[/mathjax] neexistuje, protože tento interval není shora omezený
Presne tak :) ohraničenosť je hlavná podmienka pre sup/inf.. rozdiel medzi max/sup je ten, že supremum nemusí funkcia nadobúdať, iba sa k nemu "približovať" (analogicky pre infimum)
Offline
Stýv napsal(a):
↑ MichalAld: Ano. Stejne jako obecne neplati [mathjax]\lim (a_n + 1)\gt \lim a_n[/mathjax].
No ale pak tedy, pokud pro nějakou funkci platí
[mathjax]\lim_{x\to \infty} f(x) = \infty[/mathjax]
bychom měli moct zcela korektně psát i [mathjax]f(\infty) = \infty[/mathjax] a nemusíme se s nějakou limitou vůbec obtěžovat . A já si teda nevzpomínám, že bych to někde takhle viděl. Jasně, né vždycky musí být výraz [mathjax]f(\infty)[/mathjax] vůbec definovaný, ale pokud je - tak se to může takto normálně psát?
Můžu třeba psát [mathjax]\sin(\infty) < 2[/mathjax] ? Nebo aspoň [mathjax]e^{-\infty} = 0[/mathjax] ?
Offline
↑ MichalAld: Samozrejme si muzes definovat funkce na R* misto na R. Bude to ale k necemu dobre? Trochu mi teda unika souvislost s tim mym citovanym prispevkem.
Offline
↑ MichalAld:
No jak jsem psal - používá se to proto, aby se jednodušeji formulovaly nějaké věty.
Offline