Matematické Fórum

maximum neexistuje

↑ MichalAld:

Takže žápis  (0;1) taky znamená, že interval není ohraničený nulou a jedničkou, protože prostě nula a jednička do toho intervalu nepatří?

↑ misaH:

Ohraničení úsečky určitě není číslo. Ohraničení množiny je prvek nějaké množiny. [mathjax]\pm \infty [/mathjax] jsou prvky množiny [mathjax]\mathbb{R} \cup \{ +\infty;-\infty\}[/mathjax], se kterou se v analýze běžně pracuje.

↑ vlado_bb:

A kdybych byl hnidopich, řeknu, že záleží ještě na tom, jak je ta množina uspořádaná. Může to třeba být množina [mathjax](\mathbb{R};\ll )[/mathjax], kde [mathjax]x\ll y \Leftrightarrow x>y[/mathjax] . Pak pro (0;1) bude infimum jednička a supremum nula :-)

Eratosthenes napsal(a):

Ohraničení množiny je prvek nějaké množiny. [mathjax]\pm \infty [/mathjax] jsou prvky množiny [mathjax]\mathbb{R} \cup \{ +\infty;-\infty\}[/mathjax], se kterou se v analýze běžně pracuje.

Já to nerozporuji, nejsem nakonec matematik. Jen mi není úplně jasný ten výraz "běžně pracuje". Protože většina běžných věcí, co můžeme dělat s reálnými čísly, už s těmi nekonečny provádět nejde.

Vlastně ani nedokážu rozhodnout, jestli věta "supremum množiny R je +nekonečno" je tvrzením, nebo definicí (toho "nekonečna").

Stejně tak nedokážu odpovědět na řadu dalších jednoduchých otázek - třeba jestli je to nekonečno co uzavírá množinu reálných čísel to samé nekonečno, které uzavírá množinu celých čísel.

Ty říkáš, že se to "běžně používá" ... k čemu se to vlastně běžně používá? Já vím jen o dvou použití nekonečen ... a to pro zápis těch intervalů, a při výpočtu limit ... a v obou případech to lze bez jakékoliv ztráty kytičky nahradit představou, že množina není omezená ničím.

Třeba pro označení mohutnosti množiny není symbol nekonečna úplně použitelný, a používají se na to jiné symboly, co vím (ve smyslu "není nekonečno jako nekonečno").

Zatím mi nejparadoxnější připadá to nekonečno uzavírající množinu přirozených čísel. Protože každé přirozené číslo má svůj prvočíselný rozklad, který by měl být jednoznačný. Ale to nekonečno má takových rozkladů více ... dokonce o hodně více, protože množina všech možných rozkladů nekonečna na součin prvočísel má větší mohutnost než je ta množina přirozených čísel...

↑ MichalAld:

Hm... symbol [mathjax]\infty[/mathjax] byl vymyšlen proto, aby bylo možné zapsat interval?

Tak to je fakt síla....

↑ MichalAld: https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~pick/analyza.pdf str. 80–81

Mě vždy fascinuje jak se dá dlouho debatovat nad pojmy, u kterých není uvedena jejich definice. :-)

↑ MichalAld:
R* podle mě nebude těleso, ty nekonečna se tam přidávají proto, aby se daly hezky formulovat věty o limitách, ale jinak se tím zprasí zas jiné vlastnosti...

osman napsal(a):

Obávám se, že supremum intervalu [mathjax](0,+\infty )[/mathjax] neexistuje, protože tento interval není shora omezený

Presne tak :) ohraničenosť je hlavná podmienka pre sup/inf.. rozdiel medzi max/sup je ten, že supremum nemusí funkcia nadobúdať, iba sa k nemu "približovať" (analogicky pre infimum)

↑ MichalAld: Samozrejme si muzes definovat funkce na R* misto na R. Bude to ale k necemu dobre? Trochu mi teda unika souvislost s tim mym citovanym prispevkem.

↑ MichalAld:
No jak jsem psal - používá se to proto, aby se jednodušeji formulovaly nějaké věty.