Matematické Fórum

Mám vypočítat objem tělesa, ohraničeného plochami

[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1[/mathjax]

a

[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax]

pro a,b,c > 0, bez podmínky na "z".

zvolím zobecněné sférické souřadnice

[mathjax]x=a.r.sin(\vartheta ).cos(\varphi )[/mathjax]
[mathjax]y=b.r.sin(\vartheta ).sin(\varphi )[/mathjax]
[mathjax]z=c.r.cos(\vartheta )[/mathjax]

S Jakobiánem

[mathjax]|J|=r^{2}.sin(\vartheta )[/mathjax]

[mathjax]\varphi [/mathjax] rotuje od 0 do 2 pi, [mathjax]\varphi \in (0,2\pi )[/mathjax]

Po dosazení do
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1[/mathjax]

dostávám [mathjax]r^{2}=1[/mathjax], tedy [mathjax]r\in (0,1)[/mathjax]

Po dosazení do
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax]

dostávám
[mathjax]r^{2}sin^{2}(\vartheta )=r^{2}cos^{2}(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]sin^{2}(\vartheta )=cos^{2}(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]|sin(\vartheta )|=|cos(\vartheta )|[/mathjax]

Což mezi 0 a 2 pi vyhovuje pro
[mathjax]\vartheta =\frac{\pi }{4},3\frac{\pi }{4},5\frac{\pi }{4},7\frac{\pi }{4}[/mathjax]

Kdybych měl zadáno ještě z = 0 nebo z > 0, dostal bych podmínku
[mathjax]cos(\vartheta )=0[/mathjax]
což je splněno pro [mathjax]\vartheta =\frac{\pi }{2},3\frac{\pi }{2}[/mathjax]

V zadání však žádnou podmínku na "z" nemám.


Klíčová otázka tedy je, jak zvolit meze [mathjax]\vartheta[/mathjax]

V jednom z řešení příkladu jsem našel meze [mathjax]\vartheta\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})[/mathjax], to však s uvážením podmínky, že z = 0, resp. z > 0.

Jisté je, že integrál bude
[mathjax]\int_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi }\int_{\vartheta =?}^{\vartheta =?}\int_{r=0}^{r=1}r^{2}.sin(\vartheta )drd\vartheta d\varphi[/mathjax]

resp. lze psát
[mathjax]\int_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi } d\varphi \int_{\vartheta =?}^{\vartheta =?}sin(\vartheta )d\vartheta \int_{r=0}^{r=1}r^{2}dr[/mathjax]

Tedy jisté je, že bude
[mathjax]I =2\pi .\frac{1}{3}.[-cos(\vartheta )]^{\vartheta =?}_{\vartheta =?}[/mathjax]

Záleží tedy čistě na  mezích
[mathjax]\vartheta \in (?, ?)[/mathjax]

V jednom řešení příkladu, s uvážením  pro z=0, jsem našel výsledek
[mathjax]\vartheta \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} )[/mathjax]
A objem
[mathjax]a.b.c.\pi .\frac{\sqrt{2}}{3}[/mathjax]

V jiném řešení, s uvedením  z>0, byl uveden pouze výsledek
[mathjax]a.b.c.\pi .\frac{1}{3}.(2-\sqrt{2})[/mathjax],

což by vyšlo, při stejných mezích, pokud by jakobián byl
[mathjax]J=r^{2}.cos(\vartheta )[/mathjax]

Otázkou jsou tedy meze [mathjax]\vartheta [/mathjax] s podmínkou z = 0, resp. z > 0, a bez podmínky na z, a tím i výsledná hodnota integrálu, tedy obsahu.

Uvítám vaše názory.
Předem díky.