Mám vypočítat objem tělesa, ohraničeného plochami
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1[/mathjax]
a
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax]
pro a,b,c > 0, bez podmínky na "z".
zvolím zobecněné sférické souřadnice
[mathjax]x=a.r.sin(\vartheta ).cos(\varphi )[/mathjax]
[mathjax]y=b.r.sin(\vartheta ).sin(\varphi )[/mathjax]
[mathjax]z=c.r.cos(\vartheta )[/mathjax]
S Jakobiánem
[mathjax]|J|=r^{2}.sin(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]\varphi [/mathjax] rotuje od 0 do 2 pi, [mathjax]\varphi \in (0,2\pi )[/mathjax]
Po dosazení do
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1[/mathjax]
dostávám [mathjax]r^{2}=1[/mathjax], tedy [mathjax]r\in (0,1)[/mathjax]
Po dosazení do
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax]
dostávám
[mathjax]r^{2}sin^{2}(\vartheta )=r^{2}cos^{2}(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]sin^{2}(\vartheta )=cos^{2}(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]|sin(\vartheta )|=|cos(\vartheta )|[/mathjax]
Což mezi 0 a 2 pi vyhovuje pro
[mathjax]\vartheta =\frac{\pi }{4},3\frac{\pi }{4},5\frac{\pi }{4},7\frac{\pi }{4}[/mathjax]
Kdybych měl zadáno ještě z = 0 nebo z > 0, dostal bych podmínku
[mathjax]cos(\vartheta )=0[/mathjax]
což je splněno pro [mathjax]\vartheta =\frac{\pi }{2},3\frac{\pi }{2}[/mathjax]
V zadání však žádnou podmínku na "z" nemám.
Klíčová otázka tedy je, jak zvolit meze [mathjax]\vartheta[/mathjax]
V jednom z řešení příkladu jsem našel meze [mathjax]\vartheta\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})[/mathjax], to však s uvážením podmínky, že z = 0, resp. z > 0.
Jisté je, že integrál bude
[mathjax]\int_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi }\int_{\vartheta =?}^{\vartheta =?}\int_{r=0}^{r=1}r^{2}.sin(\vartheta )drd\vartheta d\varphi[/mathjax]
resp. lze psát
[mathjax]\int_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi } d\varphi \int_{\vartheta =?}^{\vartheta =?}sin(\vartheta )d\vartheta \int_{r=0}^{r=1}r^{2}dr[/mathjax]
Tedy jisté je, že bude
[mathjax]I =2\pi .\frac{1}{3}.[-cos(\vartheta )]^{\vartheta =?}_{\vartheta =?}[/mathjax]
Záleží tedy čistě na mezích
[mathjax]\vartheta \in (?, ?)[/mathjax]
V jednom řešení příkladu, s uvážením pro z=0, jsem našel výsledek
[mathjax]\vartheta \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} )[/mathjax]
A objem
[mathjax]a.b.c.\pi .\frac{\sqrt{2}}{3}[/mathjax]
V jiném řešení, s uvedením z>0, byl uveden pouze výsledek
[mathjax]a.b.c.\pi .\frac{1}{3}.(2-\sqrt{2})[/mathjax],
což by vyšlo, při stejných mezích, pokud by jakobián byl
[mathjax]J=r^{2}.cos(\vartheta )[/mathjax]
Otázkou jsou tedy meze [mathjax]\vartheta [/mathjax] s podmínkou z = 0, resp. z > 0, a bez podmínky na z, a tím i výsledná hodnota integrálu, tedy obsahu.
Uvítám vaše názory.
Předem díky.
Offline
↑ 2M70:
Ahoj,
zbytečně složité.
Ta první plocha je půlelipsoid, ta druhá kuželová plocha. Když vyřešíš jako soustavu (stačí odečíst), dostaneš výšku, ve které se plochy protínají. Objem je pak součtem objemu kužele a elipsoidní úseče.
Offline
↑ Eratosthenes:
Ahoj,
já to ale mám počítat právě jako integrál. Mám to vlastně hotové, jde jen o ty meze theta a zdůvodnit, jak byly určeny.
Offline
↑ laszky:
Podle mě je Jakobián při zvolené transformaci opravdu roven r . sin theta. Jakobián r . cos theta vychází při jiné parametrizaci
[mathjax]x =a.r.cos\vartheta cos\varphi [/mathjax]
[mathjax]y =b.r.cos\vartheta sin\varphi [/mathjax]
[mathjax]z =c.r.sin\vartheta[/mathjax]
Při které jsou ale zase jiné meze theta.
Která z těch 3 částí nejlépe odpovídá zadání?
Offline
↑ 2M70:
1. Pokud by se mel spocitat objem vnitrku kuzele (prunik s elipsoidem) leziciho v poloprostoru [mathjax] z\geq0[/mathjax], potom se jedna o oblast
[mathjax]{\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq \frac{z^{2}}{c^{2}} } [/mathjax]
Po dosazeni parametrizace, ziskas nerovnost
[mathjax] {\displaystyle \sin^2\theta \leq \cos^2\theta, } [/mathjax]
neboli [mathjax] \cos2\theta \geq 0,[/mathjax] coz je (zaroven s [mathjax] cr\cos\theta=z\geq0[/mathjax]) splneno pro [mathjax] \theta\in[0,\pi/4] [/mathjax]
2. Pokud bys mel spocitat objem vnitrku kuzele leziciho v poloprostoru [mathjax] z\leq0[/mathjax], potom vyjde [mathjax] \theta\in[3\pi/4,\pi] [/mathjax]
3. Pokud bys mel spocitat objem elipsoidu bez obou kuzelu, pak ti vyjde [mathjax] \theta\in[\pi/4,3\pi/4] [/mathjax]
Offline
↑ laszky:
Ahoj, díky moc!! Myslím, že jsi to vystihl přesně a úplně.
Ten trik s [mathjax] {\displaystyle \sin^2\theta \leq \cos^2\theta, } [/mathjax] a [mathjax] \cos2\theta \geq 0,[/mathjax]
mě nenapadl, teď už je to jednoduché.
Offline