Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 11. 2022 16:13

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

Mám vypočítat objem tělesa, ohraničeného plochami

[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1[/mathjax]

a

[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax]

pro a,b,c > 0, bez podmínky na "z".

zvolím zobecněné sférické souřadnice

[mathjax]x=a.r.sin(\vartheta ).cos(\varphi )[/mathjax]
[mathjax]y=b.r.sin(\vartheta ).sin(\varphi )[/mathjax]
[mathjax]z=c.r.cos(\vartheta )[/mathjax]

S Jakobiánem

[mathjax]|J|=r^{2}.sin(\vartheta )[/mathjax]

[mathjax]\varphi [/mathjax] rotuje od 0 do 2 pi, [mathjax]\varphi \in (0,2\pi )[/mathjax]

Po dosazení do
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1[/mathjax]

dostávám [mathjax]r^{2}=1[/mathjax], tedy [mathjax]r\in (0,1)[/mathjax]

Po dosazení do
[mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax]

dostávám
[mathjax]r^{2}sin^{2}(\vartheta )=r^{2}cos^{2}(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]sin^{2}(\vartheta )=cos^{2}(\vartheta )[/mathjax]
[mathjax]|sin(\vartheta )|=|cos(\vartheta )|[/mathjax]

Což mezi 0 a 2 pi vyhovuje pro
[mathjax]\vartheta =\frac{\pi }{4},3\frac{\pi }{4},5\frac{\pi }{4},7\frac{\pi }{4}[/mathjax]

Kdybych měl zadáno ještě z = 0 nebo z > 0, dostal bych podmínku
[mathjax]cos(\vartheta )=0[/mathjax]
což je splněno pro [mathjax]\vartheta =\frac{\pi }{2},3\frac{\pi }{2}[/mathjax]

V zadání však žádnou podmínku na "z" nemám.


Klíčová otázka tedy je, jak zvolit meze [mathjax]\vartheta[/mathjax]

V jednom z řešení příkladu jsem našel meze [mathjax]\vartheta\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})[/mathjax], to však s uvážením podmínky, že z = 0, resp. z > 0.

Jisté je, že integrál bude
[mathjax]\int_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi }\int_{\vartheta =?}^{\vartheta =?}\int_{r=0}^{r=1}r^{2}.sin(\vartheta )drd\vartheta d\varphi[/mathjax]

resp. lze psát
[mathjax]\int_{\varphi =0}^{\varphi =2\pi } d\varphi \int_{\vartheta =?}^{\vartheta =?}sin(\vartheta )d\vartheta \int_{r=0}^{r=1}r^{2}dr[/mathjax]

Tedy jisté je, že bude
[mathjax]I =2\pi .\frac{1}{3}.[-cos(\vartheta )]^{\vartheta =?}_{\vartheta =?}[/mathjax]

Záleží tedy čistě na  mezích
[mathjax]\vartheta \in (?, ?)[/mathjax]

V jednom řešení příkladu, s uvážením  pro z=0, jsem našel výsledek
[mathjax]\vartheta \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2} )[/mathjax]
A objem
[mathjax]a.b.c.\pi .\frac{\sqrt{2}}{3}[/mathjax]

V jiném řešení, s uvedením  z>0, byl uveden pouze výsledek
[mathjax]a.b.c.\pi .\frac{1}{3}.(2-\sqrt{2})[/mathjax],

což by vyšlo, při stejných mezích, pokud by jakobián byl
[mathjax]J=r^{2}.cos(\vartheta )[/mathjax]

Otázkou jsou tedy meze [mathjax]\vartheta [/mathjax] s podmínkou z = 0, resp. z > 0, a bez podmínky na z, a tím i výsledná hodnota integrálu, tedy obsahu.

Uvítám vaše názory.
Předem díky.

Offline

 

#2 16. 11. 2022 17:09

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ 2M70:

Ahoj,

zbytečně složité.

Ta první plocha je půlelipsoid, ta druhá kuželová plocha. Když vyřešíš jako soustavu (stačí odečíst), dostaneš výšku, ve které se plochy protínají. Objem je pak součtem objemu kužele a elipsoidní úseče.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 16. 11. 2022 17:17

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ Eratosthenes:

Ahoj,

já to ale mám počítat právě jako integrál. Mám to vlastně hotové, jde jen o ty meze theta a zdůvodnit, jak byly určeny.

Offline

 

#4 16. 11. 2022 18:01

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ 2M70:

Ahoj, Jakobian mas spatne. Kuzelova plocha rozdeli elipsoid na 3 casti, jde tedy o to urcit, objem ktere casti se ma spocitat.

Offline

 

#5 16. 11. 2022 18:34

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ laszky:

Podle mě je Jakobián při zvolené transformaci opravdu roven r . sin theta. Jakobián r . cos theta vychází při jiné parametrizaci

[mathjax]x =a.r.cos\vartheta cos\varphi [/mathjax]
[mathjax]y =b.r.cos\vartheta sin\varphi [/mathjax]
[mathjax]z =c.r.sin\vartheta[/mathjax]

Při které jsou ale zase jiné meze theta.

Která z těch 3 částí nejlépe odpovídá zadání?

Offline

 

#6 16. 11. 2022 19:01

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ 2M70:

O to nejde. V tom Jakobianu ti chybi [mathjax]abc[/mathjax].

Offline

 

#7 16. 11. 2022 19:11

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ laszky:

Aha, už jsem si toho všiml, má být samozřejmě ještě vynásobený a.b.c.

Ale klíčové jsou ty meze theta, ty mi nejsou jasné.

Offline

 

#8 16. 11. 2022 20:53 — Editoval laszky (16. 11. 2022 21:41)

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ 2M70:

1. Pokud by se mel spocitat objem vnitrku kuzele (prunik s elipsoidem) leziciho v poloprostoru [mathjax] z\geq0[/mathjax], potom se jedna o oblast

[mathjax]{\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq  \frac{z^{2}}{c^{2}} } [/mathjax]

Po dosazeni parametrizace, ziskas nerovnost

[mathjax] {\displaystyle \sin^2\theta \leq \cos^2\theta, } [/mathjax]

neboli [mathjax] \cos2\theta \geq 0,[/mathjax] coz je (zaroven s [mathjax] cr\cos\theta=z\geq0[/mathjax]) splneno pro  [mathjax] \theta\in[0,\pi/4] [/mathjax]

2. Pokud bys mel spocitat objem vnitrku kuzele leziciho v poloprostoru [mathjax] z\leq0[/mathjax], potom vyjde   [mathjax] \theta\in[3\pi/4,\pi] [/mathjax]

3. Pokud bys mel spocitat objem elipsoidu bez obou kuzelu, pak ti vyjde  [mathjax] \theta\in[\pi/4,3\pi/4] [/mathjax]

Offline

 

#9 16. 11. 2022 21:31

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Objem tělesa-průnik elipsoidu a kuželu

↑ laszky:

Ahoj, díky moc!! Myslím, že jsi to vystihl přesně a úplně.

Ten trik s [mathjax] {\displaystyle \sin^2\theta \leq \cos^2\theta, } [/mathjax] a [mathjax] \cos2\theta \geq 0,[/mathjax]

mě nenapadl, teď už je to jednoduché.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson