Matematické Fórum

Taky se na to dá jít přes větu o derivaci inverzní funkce.

Pokud b = f(a), tak

[mathjax](f^{-1}(b))' = \frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}[/mathjax]


Takže když to aplikujeme na logaritumus, tak (připomínám že f = e^x a f^-1 je ln x)

[mathjax]b = e^a[/mathjax]
[mathjax]a = \ln(b)[/mathjax]


[mathjax]\ln'(b) = \frac{1}{(e^x)'(a)}=\frac{1}{(e^x)'(ln(b))}=\frac{1}{(e^x)(ln(b))}=\frac{1}{e^{\ln(b)}}=\frac{1}{b}[/mathjax]

Důkaz věty o derivaci inverzní funkce není zas tak složitý, protože graf inverzní funkce je stejný jako graf té původní funkce, jen má prohozené osy, takže směrnice té tečny je prostě převrácená, protože je převrácená i ta tečna kolem přímky y=x.