Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím,
nevím si rady s touto úlohou.
Na obvodu kladky je navinut provaz, na jehož konci visí závaží o hmotnosti 5 kg. Kladka je volně otáčivá kolem své osy a má poloměr 0,3 m. Vypočítejte úhlové zrychlení, je-li její moment setrvačnosti k ose otáčení roven 1,2 kg.m2
Za jakékoliv navedení budu rád.
Offline
↑ Flipper:
Potenciální energie tělesa se bude měnit na kinetickou energii tělesa a na kinetickou energii rotující kladky. Předpokládáme, že lano po kladce neklouže.
Pro kinetickou energii rotujícího tělesa platí vzorec: Wk=(1/2)*J*omega^2
omega = v/r
Podobný příklad je též na mých stránkách v sekci fyzika (www.tucekweb.info)
Offline
↑ Flipper:
Možná to v nepotřebujeme, bude se měnit. Předpokládejme, že jde o rovnoměrně zrychlený pohyb. Platí: v=a*t, omega=úhl. zrychlení*t
úhl. zrychlení * r = a
Vyjděte ze zákona zachování energie, pak to nějak vyplyne.
Offline
Offline
Je to takový standardní příklad - závaží na kladce, nebo válec valící se po šikmé ploše. Nakonec jsem si (před pár lety) i já zapamatoval, jak se to vlastně řeší.
Na závaží působí gravitační síla Fg, a proti ní tahová síla toho provázku Ft.
Na kladku působí moment, který vytváří ta tahová síla.
Celý trik je v tom, že tahová síla Ft není předem daná, ale určí se z podmínky, že dráha, kterou urazí závaží je stejná, jako délka provázku, který se odvine z té kladky.
Tedy
[mathjax]\Delta s = r \cdot \Delta \varphi[/mathjax]
což můžeme rovnou podělit časovým úsekem, a dostaneme
[mathjax]\frac{\Delta s}{\Delta t} = r \cdot \frac{\Delta \varphi}{\delta t}[/mathjax], tedy [mathjax]v = r \cdot \omega[/mathjax]
Pak už jen "standardní" Newtonův zákon pro pohyb závaží, a "rotační" Newtonův zákon pro tu kladku.
[mathjax]a = \frac{d^2s}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{m}(F_g - F_t)[/mathjax]
[mathjax]\epsilon = \frac{d^2\varphi}{dt^2}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{1}{J}M_t = \frac{1}{J}rF_t[/mathjax]
A protože rychlost závaží a úhlová rychlost otáčení té kladky jsou svázány, můžeme si vybrat jednu z nich, kterou chceme používat, a tu druhou pak vyjádříme pomocí první. Já si vyberu třeba tu rychlost v, takže druhá rovnice dostane tvar
[mathjax]\frac{d\frac{v}{r}}{dt}= \frac{1}{J}rF_t[/mathjax]
tedy [mathjax]\frac{dv}{dt}= \frac{1}{J}r^2F_t[/mathjax]
k tomu máme tu druhou rovnici
[mathjax]\frac{dv}{dt}=\frac{1}{m}(F_g - F_t)[/mathjax]
a když se levé strany rovnají, budou se rovnat i pravé, takže z toho dostaneme
[mathjax]\frac{1}{J}r^2F_t=\frac{1}{m}(F_g - F_t)[/mathjax]
Z čehož už asi není problém vyjádřit tu tahovou sílu Ft
[mathjax]F_t = \frac{Fg}{1+\frac{mr^2}{J}}[/mathjax] (doufám, že to mám správně).
Když známe Ft, není už problém určit zrychlení. Rychlost je pak jeho integrál - v tomto případě lineárně rostoucí, se zrychlením, které závisí na poměru hmotnosti závaží a momentu setrvačnosti té kladky.
Stejně se postupuje, když se válec valí po nakloněné rovině. Jen to Ft není tahová síla, ale třecí síla.
Offline