Matematické Fórum

↑ Flipper:
Potenciální energie tělesa se bude měnit na kinetickou energii tělesa a na kinetickou energii rotující kladky. Předpokládáme, že lano po kladce neklouže.
Pro kinetickou energii rotujícího tělesa platí vzorec: Wk=(1/2)*J*omega^2
omega = v/r

Podobný příklad je též na mých stránkách v sekci fyzika   (www.tucekweb.info)

↑ Flipper:
Možná to v nepotřebujeme, bude se měnit. Předpokládejme, že jde o rovnoměrně zrychlený pohyb. Platí: v=a*t,  omega=úhl. zrychlení*t
úhl. zrychlení * r = a
Vyjděte ze zákona zachování energie, pak to nějak vyplyne.

Je to takový standardní příklad - závaží na kladce, nebo válec valící se po šikmé ploše. Nakonec jsem si (před pár lety) i já zapamatoval, jak se to vlastně řeší.


Na závaží působí gravitační síla Fg, a proti ní tahová síla toho provázku Ft.

Na kladku působí moment, který vytváří ta tahová síla.

Celý trik je v tom, že tahová síla Ft není předem daná, ale určí se z podmínky, že dráha, kterou urazí závaží je stejná, jako délka provázku, který se odvine z té kladky.

Tedy

[mathjax]\Delta s = r \cdot \Delta \varphi[/mathjax]

což můžeme rovnou podělit časovým úsekem, a dostaneme

[mathjax]\frac{\Delta s}{\Delta t} = r \cdot \frac{\Delta \varphi}{\delta t}[/mathjax], tedy [mathjax]v = r \cdot \omega[/mathjax]


Pak už jen "standardní" Newtonův zákon pro pohyb závaží, a "rotační" Newtonův zákon pro tu kladku.

[mathjax]a = \frac{d^2s}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{1}{m}(F_g - F_t)[/mathjax]

[mathjax]\epsilon = \frac{d^2\varphi}{dt^2}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{1}{J}M_t = \frac{1}{J}rF_t[/mathjax]

A protože rychlost závaží a úhlová rychlost otáčení té kladky jsou svázány, můžeme si vybrat jednu z nich, kterou chceme používat, a tu druhou pak vyjádříme pomocí první. Já si vyberu třeba tu rychlost v, takže druhá rovnice dostane tvar


[mathjax]\frac{d\frac{v}{r}}{dt}= \frac{1}{J}rF_t[/mathjax]

tedy [mathjax]\frac{dv}{dt}= \frac{1}{J}r^2F_t[/mathjax]

k tomu máme tu druhou rovnici

[mathjax]\frac{dv}{dt}=\frac{1}{m}(F_g - F_t)[/mathjax]

a když se levé strany rovnají, budou se rovnat i pravé, takže z toho dostaneme

[mathjax]\frac{1}{J}r^2F_t=\frac{1}{m}(F_g - F_t)[/mathjax]

Z čehož už asi není problém vyjádřit tu tahovou sílu Ft

[mathjax]F_t = \frac{Fg}{1+\frac{mr^2}{J}}[/mathjax] (doufám, že to mám správně).

Když známe Ft, není už problém určit zrychlení. Rychlost je pak jeho integrál - v tomto případě lineárně rostoucí, se zrychlením, které závisí na poměru hmotnosti závaží a momentu setrvačnosti té kladky.

Stejně se postupuje, když se válec valí po nakloněné rovině. Jen to Ft není tahová síla, ale třecí síla.