Matematické Fórum

Je úloha "je dána strana AB a nebo strana AB není dána, ale má délku 1" polohová nebo ne? :-)
Nebo je vhodnější spojky "nebo" v zadání úloh zakázat (a prostě to řešit jako dvě nezávislé úlohy)? Neochudíme se tak o nějaké zajímavé úlohy?

↑↑ surovec:

surovec napsal(a):

Dobrá. Úloha "Je dána úsečka AB. Sestroj ABC, když znáš ještě velikost strany a a úhlu gama". Je polohová. Jak ji vyřešíš jako nepolohovou?

Nepolohová úloha zní: Sestroj trojúhelník ABC, když znáš velikosti stran c, a a velikost úhlu gamma.

Její řešení je snadné:

Z věty Ssu o shodnosti trojúhelníků:  c>a; c>b ==> jedno řešení   
                                                                            jinak dvě řešení.

surovec napsal(a):

Tak mi už konečně řekni (bez vytáček), co je nepolohového na tom, že použiju zobrazení pro přenesení pomocného shodného útvaru na zadaný polohový objekt. Vlastně mohu odpovědět za tebe: NIC.

Takto mě naposled vyslýchal jakýsi estébák, který taky odpovídal za mě. A pak mě nutil, abych to podepsal. Tenkrát mě nedonutil. Tady to ale podepsat můžu. Nepolohového na tom není nic a polohového všechno. Já jsem taky nikde nikdy netvrdil nic jiného.

Je to tak trochu jako vtip:

Já:          Je to polohová úloha.
Surovec: Tak se vsaď - já to říkám taky....

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

check_drummer napsal(a):

Každou konstrukci ale takto začít musíš. I nepolohovou úlohu: Sestrojte úsečku AB o

délce x začnu tak, že si zvolím bod A...

Nemusíš. Můžeš začít tím, že si zvolíš bod B. Anebo si nezvolíš ani jeden, rovnou napíšeš že všechny úsečky AB s délkou a jsou shodné z definice shodnosti, takže úloha má jedno řešení. A máš hotovo.

Jinde uvádíš, že když si zvolím bod B, tak už je to úloha polohová.
Já tvrdím, že pokud si při řešení úlohy někde zvolím bod, tak je to stále úloha neplohová. Jen musím ukázat, jak touto volbou nepřijdu o jiná řešení.

Toto je tvé míchání zadání a řešení - ty zakazuješ i během řešení volit si útvary (umístit někam bod, úsečku,apod.). Vlastně mi připadá,že zakazuješ při řešení polohové úlohy vůbec něco konstruovat. :-)
Pak ale v jiném příspěvku řešíš polohovou úlohu tak, že si přece jen úsečku někde zvolíš, takže musíš přesně říct jak to má být.

To co uvádíš, aby ses umístění útvarů vyhnul, tj. odkazy na shodnosti a větu sss, apod., to už ale není konstrukce, úkolem je sestrojit ten trojúhelník, nejen určit kolik řešení má úloha.

↑ check_drummer:

Znovu musím zopakovat číst naší diskuse:

CH_D: Nepolohovou úlohu: Sestrojte úsečku AB o délce x začnu tak, že si zvolím bod A...

E:    Nemusíš. Můžeš začít tím, že si zvolíš bod B..

CH_D: Jinde uvádíš, že když si zvolím bod B, tak už je to úloha polohová.
      Toto je tvé míchání zadání a řešení.

E:    Ale já nic nemíchám. Říkám stále totéž. Přečti si pozorně moji odpověď na Tvoji čtvrtou otázku. Zopakuji a něco málo připíšu:

CH_D: Jak potom vyřešíš tuto nepolohovou úlohu: Jsou dány délky stran a,b,c trojúhelníka. Sestrojte tento trojúhelník.

E:

Máš dvě možnosti:

1) Začít řešit polohové úlohy. Vezmeš pravítko a kružítko a začneš:

     a) Zvolíš AB=c a pokusíš se sestrojit C (polohová úloha)
     b) Zvolíš BC=a a pokusíš se sestrojit A (polohová úloha)
     c) Zvolíš AC=b a pokusíš se sestrojit B (polohová úloha)

a zjistíš, že když a>b+c nebo b>a+c nebo c<a+b, tak se ti to nikdy nepovede, v opačném případě se ti to vždycky povede s tím, že všechny trojúhelníky, které se v a) b) c) povedly sestrojit, jsou shodné.

Pak konstatuješ. Je-li a>b+c nebo b>a+c nebo c<a+b, pak úloha nemá řešení. V opačném případě má úloha právě jedno řešení.

Tím jsi pomocí tří polohových úloh vyřešil původní úlohu nepolohovou.

anebo

2) Zahodíš pravítko a kružítko, nikam nic neumisťuješ, nic nevolíš a napíšeš přímo:

      a>b+c nebo b>a+c nebo c<a+b ==> úloha nemá řešení (nebo trojúhelník neexistuje)
                                      a zdůvodníš to trojúhelníkovou nerovností
              v opačném případě       úloha má jedno řešení
                                      a zdůvodníš to větou sss   
                                      anebo trojúhelník je jeden až na shodnost.                 
                                      (třeba množina Z je taky jenom jedna, v tomto případě až na izomorfizmus)

A pokud to někomu jako řešení nebude stačit, protože žádný trojúhelník nevidí, jednoduchá odpověď: No jo, ale to mně musíš říct, kde ho chceš vidět. A v momentě, kdy to řekne, to už není úloha nepolohová, protože ti zadavatel (nějak) určí polohu.   

CH_D: To co uvádíš, aby ses umístění útvarů vyhnul, tj. odkazy na shodnosti a větu sss, apod., to už ale není konstrukce.

E: Naopak. Právě až to je konstrukce. Viděl jsem snad desítku knih, kde byla kapitola s názvem "Konstrukce reálných čísel" a v žádné z nich ta konstrukce nebyla provedena tak, že někdo něco někam umisťoval a rýsoval 

CH_D:  ... Jen musím ukázat, jak touto volbou nepřijdu o jiná řešení.
                     
E:    No vidíš - to jsi měl napsat někde na začátku a nemuseli jsme se hádat. Trojúhelník je nepolohově zadán třemi hodnotami. Jakmile jednu hodnotu zvolíš a začneš rýsovat, řešíš polohovou úlohu, protože určils její polohu. Ty ale musíš dokázat, že to, co jsi nqarýsoval, nezávisí na tom, co jsi zvolil a kam jsi to umístil. Takže buď musíš pravítkem a kružítkem sestrojit totéž při zbývajících dvou volbách, anebo dokázat, že kdybys volil jinak, už nic jiného nedostaneš. Přitom se ale speciálně u těch trojúhelníků nevyhneš tomu, o čem tvrdíš, že to není konstrukce (sss, sus...).

Konstrukce u nepolohoové úlohy není to, co načmárám tužkou, i když je to vyvedeno pravítkem a kružítkem a třebas i pozlaceno. Konstrukcí je to, co je poněkud skryto v tom, čemu se dnes říká rozbor a důkaz konstrukce.

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

E: Naopak. Právě až to je konstrukce. Viděl jsem snad desítku knih, kde byla kapitola s názvem "Konstrukce reálných čísel" a v žádné z nich ta konstrukce nebyla provedena tak, že někdo něco někam umisťoval a rýsoval 

Přitom se ale speciálně u těch trojúhelníků nevyhneš tomu, o čem tvrdíš, že to není konstrukce (sss, sus...).

Konstrukce u nepolohoové úlohy není to, co načmárám tužkou, i když je to vyvedeno pravítkem a kružítkem a třebas i pozlaceno. Konstrukcí je to, co je poněkud skryto v tom, čemu se dnes říká rozbor a důkaz konstrukce.

Takže jsme se dostali k tomu, že každý jinak chápeme pojem konstrukce, přesněji řečeno "konstrukce pravítkem a kružítkem", protože o to v těchto úlohách jde. Nejde o nějaké "zhmotnění" hledaného útvaru, ale opravdu o sérii povolených kroků - tak chápu konstrukci já. Pokud si pod konstrukcí představuješ něco jiného, tak to konkretizuj. Ale z těch poznámek výše to vypadá, že ano.

Nevím jestli bude můj výčet úplný, ale konstrukcí si představuju následujcíí kroky (opakovaně aplikované):
0) předem danou množinu bodů chápeme jako již zkonstruované body
1) libovolná volba bodu (prostě někam "náhodně" umístím bod - buď zcela libovolně nebo do nějaké již zkonstruované množiny, např. na přímku)
2) konstrukce přímky, mám-li dány její dva body
3) konstrukce kružnice, mám-li dán její střed a její poloměr (určen jako vzdálenost dvou již zkonstruovaných bodů)
4) konstrukce bodu, který je dán jako průnik již zkonstruovaných dvou přímek, dvou kružnic nebo kružnice a přímky

Pomocí těchto kroků pak zkonstruuju požadovaný útvar, např. je-li to trojúhelník, tak získám nějaké tři body, o kterých prohlásím,že jsou vrcholy trojúhelníka, který bylo požadováno sestrojit.

Potom ale musím provést krok (myslím, že se tomu říká diskuse nebo tak), abych dokázal, že touto konstrukcí jsem sestrojil právě všechny možné požadované útvary, případně kolik jich může být, apod. A tady už použiju různé teoretické úvahy, jako větu sss, apod.

Takže pod pojmem konstrukce si představuju postup, kdy něco kutím pravítkem a kružítkem a následuje diskuse (teoretická část), kdy musím obhájit, že to, co jsem vytvořil, odpovídá podmínkám zadání.

Tímto odpovídám na dotaz kolegy ↑↑ Honzc:. Dotaz byl sice soukromý, ale odpověď  bude myslím užitečná tady.

----------------------------------
Nastudoval jsem a podívej se sem, co zde píšou o počtu řešení v "jedné polorovině" (což tak nějak odpovídá mému "úzusu")
----------------------------------

Jak je ovšem známo, ne všechno, co je na internetu (a dokonce ani v učebnicích) je pravda.

Vezměme si nepolohovou úlohu sestrojit trojúhelník, je-li dáno c, v_b,  v_c. 

Poslechněme pana Krynického. Věřme, že  stačí  "řešit v jedné polorovině". Takže

↑ check_drummer:

Ten *.gif si asi nestopneš, stopnu ti ho já :-)



Pro jistotu ještě jednou zopakuju úlohu: Sestrojte trojúhelník, je-li dáno c, v_b,  v_c.

Pokud chápeš konstrukci jako práci s pravítkem a kružítkem, pak máš ve všech bodech 0 - 4 samozřejmě pravdu. Ale přijít takto na druhé řešení můžeš možná za minbutu, možná za den, ale možná taky vůbec.

Odložíš-li ovšem nástroje a začneě to konstruovat způsobem, který za konstrukci nepovažuješ, přijdeš na to možná během pěti vteřin. A pak to jednoduše sestrojíš i tím pravítkem a kružítkem

↑ Eratosthenes:
Jediné co mě napadá je:
- Konstruovat i "pod" přímkou AB
- Zaměnit orientaci vrcholů AB (tj. B bude "vlevo" od A)
- Umístit úsečku AB "kdekoli jinde" (toje vlastně obecný případ předchozího bodu)
- Nevolit pevně úsečku AB, ale např. další prvek (jednu z výšek, např. vb, když máš tak rád ten starý režim :-)). Tady podle mě dostaneme útvar (trojúhelník) shodný s tím co se narýsuje v předchozích úvahách. Důkaz se provede shodnou transformací výšky vb sestrojené v předchozích úvahách na tu pevně zvolenou výšku vb. A nebo tak, že  půjde ukázat, že výše uevdenou konstrukcí s pevně zvolenou stranou AB jiné trojúhelníky vyhovující požadavkům úlohy nedostaneme. Takže všechna možná řešení dostaneme jen libovolnou volbou strany AB (o délce c) a výše uvedené konstrukce.

↑ check_drummer:

NE.

Nechceš-li odmítnout pravítko a kružítko, pak řešení nepolohové úlohy o trojúhelníku spočívá v tom, co říkám od začítku - řešení  t ř í  polohových úloh.

Takže - úvod Tvojí poslední odrážky je správně.  Jen to tentokrát (výjimečně) chce nemyslet a konat...

↑ Eratosthenes:
Ano, ale obě řešení jsme dostali pevnou volbou úsečky AB. Ostatní prvky (vb ani vc) jsem jako pevné volit nemusel (tedy jsem nemusel řešit další polohovou úlohu). Samozřejmě, pokud by to někomu vyhovovalo, může jakou pevnou zvolit na začátku třeba vb, ale další řešení (neshodná s těmi již sestrojenými) nedostane.

↑ check_drummer:¨



Ano, obě řešení v tomto případě dostaneme volbou úsečky AB. Jsou tady ale tři věci:

1) Ruku na srdce - přišel bys na to druhé řešení, kdybych neprozradil, že existuje?
2) Kdybys nejdřív umístil v_b, přijdeš na to hned.
3) Máme jistotu, že při volbě v_c bychom už žádné další neobjevili? V tomto případě asi ano, ale v jiných úlohách?
4) Obecně: máme jistotu, že všechny tři volby vedou v každé možné úloze ke stejným, tj. všem možným řešením? Já to nevím a docela rád bych to věděl.

Proto říkám, že je potřeba (když budeme trvat na pravítku a kružítku)  udělat všechny tři polohové. Ale i tak samozřejmě můžeme něco přehlídnout.

Anebo samozřejmě udělat jednu a dokázat, že v těch dalších dvou už nic dalšího nebude.

A když na pravítku a kružítku trvat nebudeme? U nepolohových úloh považujeme shodné trojúhelníky za jedno řešení, takže tzv. "věty o shodnosti" slouží jako pravidla, kdy je trojúhelník sestrojen.

Takže u nepolohových úloh a, b c
                                       a, b, gama
                                       alfa, beta, c

není vůbec co řešit - trojúhelník je sestrojen. Je to něco podobného, jako kdybys měl řešit rovnici x=2.

A těch "pár vteřin, za které objevíš, že úloha c, v_c, v_b má dvě řešení?"

Máš jednu stranu, takže potřebujeě buď ještě další dvě strany, anebo (což je lepší) - stranu a úhel. Takže asi nejdřív úhel alfa:

      sinus alfa = v_b/c

A okamžitě vidíš, že úloha má dvě řešení (nejmíň - nějaké další se ještě může dál objevit...)

↑ Eratosthenes:
Jistotu, že víc řešení nedostanu (lze to snadno dokázat, jak jsem uvedl někde dřív, transformací stran AB obou řešení na sebe), mám, pokud dokážu, že pro pevně zvolenou stranu AB jsem daným postupem schopen sestrojit každý trojúhelník vyhovující podmínkám úlohy s touto pevnou stranou AB. To je ale standardní postup každé konstrukce (ověření její "korektnosti").
To platí obecně - zvolím nějaký libovolný pevný prvek, pro něj provedu konstrukci, a dokážu, že touto konstrukcí sestrojím všechny požadované útvary s tím to pevným prvkem. Z toho již plyne, že volbou jiného pevného prvku jiné neshodné řešení nedostanu - viz první závorka tohoto příspěvku.

Při řešení jsem asi nepozorně četl, že je požadováno, že se musí vše odehrávat "nad" stranou AB.

↑ Honzc:

A ve které polorovině najdeš všechna řešení této úlohy:

Dány přímky p, q, r. Sestroj trojúhelník ABC tak, že [mathjax]A \in p[/mathjax] , [mathjax]B \in q[/mathjax], [mathjax]C \in r[/mathjax]: