#2 01. 07. 2009 10:32 — Editoval Rumburak (01. 07. 2009 10:37)
Re: posloupnosti
AD 1. Číslo a tam figuruje pouze v roli konstanty, kterou je vynásobena rovnost
1 + q + q^2 + ... + q^(n-1) = ((q^n)-1) / (q-1) .
Tuto rovnost dokážeme.
Označíme x = 1 + q + q^2 + ... + q^(n-1) . Potom
q*x = q*(1 + q + q^2 + ... + q^(n-1)) = q + q^2 + ... + q^n ,
1 + q*x = 1 + q + q^2 + ... + q^n = x + q^n,
a z takto vzniklé rovnice 1 + q*x = x + q^n vypočítáme x - funguje to, pokud q <> 1.
AD 2. Zde už je odvození obtížnější (i když důkaz indukcí zase ne až tak). Podívám se na to,
až budu mít více času, pokud se neozve nikdo další.
Offline
#3 01. 07. 2009 10:36
Re: posloupnosti
↑ Rumburak:
díky a co ta druhá posloupnost (2^2+3^2+...n^2)=n/6(n+1)(2n+1) tu bys také zvládl vysvětlit?
Offline
#4 01. 07. 2009 11:18
Re: posloupnosti
↑ simonaj1:
Tak tedy:
Označme
(0) 
.
Z binomické věty plyne, že 
pro celé číslo k > 0 je polynomem stupně k - 1 (neboť x^k se vyruší).
Z tohoto poznatku lze usoudit, že je-li 
, tedy polynom stupně 2 v proměnné n,
pak s(n) bude polymom stupně 2 + 1 = 3 v proměnné n. Tedy
(1) 
.
Čísla a, b, c, d určíme tak, že pro ně volbami n = 0,1,2,3 v (1), kde levou stranu spočítáme přímo z (0), sestavíme vhodné rovnice.
(Zda je Tebou uvedený vzorec správný, jsem nezkoumal - mám podezření, že se mělo sčítat od 1^2 a ne až od 2^2, doporučuji ještě to prověřit.)
Offline
#5 01. 07. 2009 17:36
Re: posloupnosti
↑ Rumburak:
jj, máš pravdu na začátku zápisu mi utekl 1^2, ale nerozumím tomu, že čísla a, b, c, d určíme tak, že pro ně volbami n = 0,1,2,3 v (1), kde levou stranu spočítáme přímo z (0)
Offline
