Matematické Fórum

AD 1.  Číslo a tam figuruje pouze v roli konstanty, kterou je vynásobena rovnost

       1 + q + q^2 + ... + q^(n-1)  = ((q^n)-1) / (q-1) .

Tuto rovnost dokážeme.

Označíme   x = 1 + q + q^2 + ... + q^(n-1) .  Potom 

q*x =  q*(1 + q + q^2 + ... + q^(n-1)) =  q + q^2 + ... + q^n ,

1 + q*x = 1 +  q + q^2 + ... + q^n =  x +  q^n,

a z takto vzniklé rovnice  1 + q*x =  x +  q^n  vypočítáme x - funguje to, pokud q <> 1.

AD 2.  Zde už je odvození obtížnější (i když důkaz indukcí zase ne až tak).  Podívám se na to,
až budu mít více času, pokud se neozve nikdo další.

↑ simonaj1:
Tak tedy:
Označme

(0)   .
Z binomické věty plyne, že    pro celé číslo k > 0  je polynomem stupně k - 1  (neboť x^k se vyruší).
Z tohoto poznatku lze usoudit, že je-li , tedy polynom stupně 2 v proměnné n,
pak s(n) bude polymom stupně 2 + 1 = 3 v proměnné n. Tedy

(1)   . 

Čísla a, b, c, d určíme tak, že pro ně volbami n = 0,1,2,3 v (1), kde levou stranu spočítáme přímo z (0), sestavíme vhodné rovnice.
(Zda je Tebou uvedený vzorec správný, jsem nezkoumal - mám podezření, že se mělo sčítat od 1^2 a ne až od 2^2, doporučuji ještě to prověřit.)

↑ simonaj1:napr.