Matematické Fórum

↑ Harry Potter:

Musíme vyřešit soustavu rovnic:

    2x+3y+5z=81
    1x+4y+6z=93

  Protože máme 3 neznámé, ale jen 2 rovnice, bude mít soustava víc řešení.

   To jsou tzv. Diafontické úlohy.

↑ Harry Potter:

No neviem...

Toto klasická úloha pre ZŠ nie je.

Ak je to nejaká súťaž, ani Vy by ste sa do toho nemali montovať.

Myslím, že 0 kusov asi do riešenia patriť nebude.

↑ Honzc:Řešení úchvatné, ale šlo by nějak ještě ozřejmit, jak jste se zbavil toho x z těch rovnic? Žádná soutěž to není, jsou to příklady navíc, které žáci dostávají, když se ve třídě nudí. A přiznávám, že více než mého syna to frustruje mě, že nejsem schopen přijít na řešení :D. Jinak Vám moc již pedem děkuji aspoň za ten náznak postupu. Přetlumočit už to budu stejně muset já, tak ať to dítko chápe.

↑ Honzc:Ještě jednou děkuji :)

Nejsou to diafontické, ale diofantické rovnice. V tomto případě lineární diofantické rovnice.

A jako na spoustu matematických úloh, i tady lze s úspěchem aplikovat oblíbený postup - uhádnout správné řešení, a pak ověřit, jestli je opravdu správné. Každý dokáže do rovnice dosadit pár celých čísel, a vyzkoušet, jestli našel správné řešení.

A to je tak podle mě všechno, na co může žák základní školy přijít, pokud není vyloženě génius.

Jasně, když přijdeme na to, že ze dvou rovnic můžeme udělat jednou (se dvěma neznámýma), je to dost velká pomoc, minimálně v tom, že nemusíme zkoušet tolik variant. Ale pochybuji, že by žák základní školy dokázal jen tak bez ničeho přijít na to, že rovnice může a nemusí mít řešení, a že když řešení má, že jich taky může mít nekonečně mnoho.

V našem případě nám ale pomáhá fakt, že počet plechovek nemůže být záporný. A tím se nám počet možností už dost zmenšuje. Takže třeba u té rovnice

5y+7z=105

je celkem zřejmé, že neznámá z musí být někde v rozsahu 0 ... 105/7 = 15.
Takže když vyzkoušíme za z dosadit všechna čísla od nuly do 15 a zkusíme určit to y, mělo by to být za pár minut hotové. Případně to můžeme přepsat na tvar

[mathjax]y=\frac{105-7z}{5}=21-7\frac{z}{5}[/mathjax]

z čehož už vidíme, že aby nám vyšlo celé číslo, musí být z násobkem 5, tedy 0, 5, 10, 15, čemuž pak odpovídají hodnoty y 21, 14, 7, 0.

Pokud víme, že ani jedněch plechovek nemůže být nulový počet, tak ta řešení obsahující nulu můžeme rovnou vynechat, a když dále víme, že z > y (protože nejtěžších plechovek má být nejvíce), tak zbývá jen to řešení z=10, y=7. To můžeme zkusit dosadit do jedné z těch původních rovnic a zkusit, jestli nám vyjde i celočíselné x (podle mě není nikde řečeno, že musí vyjít celočíselné).


Takže první rovnice:
2x+3y+5z=81
2x+3*7+5*10=81
2x=81-21-50=10
x=5
Zdá se, že máme štěstí a vyšlo to.


Vyzkoušíme druhou rovnici

1x+4y+6z=93
1*5+4*7+6*10=5+28+60=93

Takže je to správně.

Ale je třeba si uvědomit, že příklad je vyumělkovaný a narafičený tak, aby hezky vycházel. Protože obecně i tahle jednoduchá diofantická rovnice ve tvaru

ax + by = c

nemusí mít řešení vůbec, a pokud ho má, nemusí být tak triviální problém ho nalézt, jako to bylo v tomhle případě.

Například jednoduchá rovnice 11x + 13y = 17  má určitě řešení x = 102, y = -85, ale dost pochybuji, že bych na to na základní škole dokázal přijít. Vlastně bych na to nepřišel ani dneska, když by mi to někdo neporadil (protože shodou okolností jsem si zrovna před týdnem vzal do hlavy, že bych mohl konečně pochopit, jak se tyhle rovnice řeší, tak se mi zrovna hodí, že jsem si to mohl vyzkoušet v praxi).

Mě by třeba zajímalo (a sám nevím, jak to řešit), jestli ta druhá rovnice je vůbec nutná. A jestli by nestačila jen ta první (plus ty doplňující podmínky) abychom řešení našli.

Tedy jaká jsou možná řešení rovnice

2x+3y+5z=81

za předpokladu, že všechna čísla x,y,z musí být kladná, a větší než nula, a z je největší z nich.