Matematické Fórum

↑ Richard Tuček:
Dobrý večer,  děkuji Vám za poznámku. Jen se omlouvám, ale zapomněl jsem tam dodat, má jít o homogenní lineární diferenciální rovnici (1. řádu). Tam by se postupovalo stejně? Právě s charakteristickou rovnicí jsme ještě nepracovali.

↑ Kája2:
Řekl bych, že postupujete správně, i výsledek je správně (jen drobný překlep v čitateli).

Pokud řešení obsahuje 3 integrační konstanty, tak to určitě nebude rovnice prvního řádu. Pokud je to zadání, tak to je nejspíš nesplnitelné. Budeš potřebovat rovnici 3. řádu.

Teď zrovna nevím, jestli existuje nějaký přímočarý postup, jak z řešení sestavit rovnici, ale když víš, jaké kořeny charakteristické rovnice vedou na jaká řešení, jde to skoro z hlavy.

částečné řešení [mathjax]y = C_1x[/mathjax] odpovídá kořenu [mathjax]\lambda = 0[/mathjax] a tedy rovnici [mathjax]y'=0[/mathjax].

s tím zbytkem řešení, tedy [mathjax]y = C_2e^{-2x} + C_3 x e^{-2x}[/mathjax] je to trochu "tricky", zde je třeba si vzpomenout, že takovéto řešení má rovnice když má dvojnásobný kořen (tedy dva stejné kořeny).

Pořád mluvíme o lineárních diferenciálních rovnicích s konstantními koeficienty, protože tvé řešení je řešení LDF s konstantními koeficienty. Takže když už máme všechyny tři kořeny,

[mathjax]\lambda_1 = 0[/mathjax]
[mathjax]\lambda_2 = -2[/mathjax]
[mathjax]\lambda_3 = -2[/mathjax]

Není těžké napsat charakteristickou rovnici, tedy

[mathjax]\lambda(\lambda+2)(\lambda+2)=0[/mathjax]

Což po roznásobení dá

[mathjax]\lambda ^3 + 4 \lambda ^2 + 4 \lambda=0[/mathjax]

Což odpovídá diferenciální rovnici

[mathjax]y''' + 4 y'' + 4 y'=0[/mathjax]

Za správnost ovšem úplně neručím ... nicméně si můžeš snadno zkontrolovat, jestli tvé řešení moji rovnici splňuje.

↑ MichalAld:
Dobrý den, moc děkuji za radu. Ještě se na to podívám ;-)