Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Dobrý večer,
mám následující příklad. Nalezněte alespoň jednu homogenní diferenciální rovnici, jejíž obecné řešení lze zapsat ve tvaru [mathjax]y=C_1+C_2\mathrm{e}^{-2x}+C_3x\mathrm{e}^{-2x}[/mathjax]. Jako homogenní lineární diferenciální rovnici mám rovnici ve tvaru [mathjax]y'+f(x)y=0[/mathjax]. Mám-li tedy [mathjax]y=C_1+C_2\mathrm{e}^{-2x}+C_3x\mathrm{e}^{-2x}[/mathjax], pak [mathjax]y'=-2C_2\mathrm{e}^{-2x}+C_3\mathrm{e}^{-2x}-2C_3x\mathrm{e}^{-2x}[/mathjax] a tudiž [mathjax]f(x)=-\frac{y'}{y}=-\frac{-2C_2\mathrm{e}^{-2x}+C_3\mathrm{e}^{e-2x}-2C_3x\mathrm{e}^{-2x}}{C_1+C_2\mathrm{e}^{-2x}+C_3x\mathrm{e}^{-2x}}[/mathjax] a případně pak ještě upravit? Postupuji správně nebo jsme úplně mimo?
Offline
Charakteristická rovnice musí mít jednoduchý kořen 0 a dvojnásobný kořen -2
char. rov = lambda*(lambda-2)^2 = 0
Pak rovnici přiřadíme diferenciální rovnici takto:
1 ~ y
lambda~ y'
lambda^2 ~ y''
atd.
Na pravé straně bude nula.
Offline
↑ Richard Tuček:
Dobrý večer, děkuji Vám za poznámku. Jen se omlouvám, ale zapomněl jsem tam dodat, má jít o homogenní lineární diferenciální rovnici (1. řádu). Tam by se postupovalo stejně? Právě s charakteristickou rovnicí jsme ještě nepracovali.
Offline
↑ Kája2:
Pokud vím, tak obecné řešení diferenciální rovnice tvaru: y = f(x)*y, kde f(x) je spojitá funkce na jistém intervalu
je y=K*exp(F(x)), kde F'(x)=f(x), tj. F je funkce primitivní k f(x).
Nevím, jestli to má řešení, najít homogenní difošku 1. řádu, která má prostor řešení dimenze 3.
Funkce 1, exp(-2x), x*exp(-2x) jsou lineárně nezávislé.
P.S. O diferenciálních rovnicích je také na mém webu www.tucekweb.info, sekce matematika
Offline
↑ Richard Tuček:
Ano, také jsem našel, že obecné řešení je ve tvaru [mathjax]y(x)=K\mathrm{e}^{-\int_{}^{}f(x)dx}[/mathjax]. Z toho mám [mathjax]\ln \frac{f(x)}{K}=-\int_{}^{}f(x)dx[/mathjax]. Ale jak z toho pak získám tu funkci [mathjax]f(x)[/mathjax]?
Offline
Pokud řešení obsahuje 3 integrační konstanty, tak to určitě nebude rovnice prvního řádu. Pokud je to zadání, tak to je nejspíš nesplnitelné. Budeš potřebovat rovnici 3. řádu.
Teď zrovna nevím, jestli existuje nějaký přímočarý postup, jak z řešení sestavit rovnici, ale když víš, jaké kořeny charakteristické rovnice vedou na jaká řešení, jde to skoro z hlavy.
částečné řešení [mathjax]y = C_1x[/mathjax] odpovídá kořenu [mathjax]\lambda = 0[/mathjax] a tedy rovnici [mathjax]y'=0[/mathjax].
s tím zbytkem řešení, tedy [mathjax]y = C_2e^{-2x} + C_3 x e^{-2x}[/mathjax] je to trochu "tricky", zde je třeba si vzpomenout, že takovéto řešení má rovnice když má dvojnásobný kořen (tedy dva stejné kořeny).
Pořád mluvíme o lineárních diferenciálních rovnicích s konstantními koeficienty, protože tvé řešení je řešení LDF s konstantními koeficienty. Takže když už máme všechyny tři kořeny,
[mathjax]\lambda_1 = 0[/mathjax]
[mathjax]\lambda_2 = -2[/mathjax]
[mathjax]\lambda_3 = -2[/mathjax]
Není těžké napsat charakteristickou rovnici, tedy
[mathjax]\lambda(\lambda+2)(\lambda+2)=0[/mathjax]
Což po roznásobení dá
[mathjax]\lambda ^3 + 4 \lambda ^2 + 4 \lambda=0[/mathjax]
Což odpovídá diferenciální rovnici
[mathjax]y''' + 4 y'' + 4 y'=0[/mathjax]
Za správnost ovšem úplně neručím ... nicméně si můžeš snadno zkontrolovat, jestli tvé řešení moji rovnici splňuje.
Offline
Pokud to má být opravdu dif rovnice 1. řádu ... tak tam je jeden problém. Protože pokud ty konstanty C1, C2, C3 mohou být libovolné, tak se nám v té funkci f(x) nemohou objevit, protože dif. rovnice těžko může obsahovat neznámé konstanty (či "libovolné konstanty").
Celé to trochu nedává smysl.
Offline
↑ MichalAld:
Dobrý den, moc děkuji za radu. Ještě se na to podívám ;-)
Offline
Stránky: 1