Matematické Fórum

↑ otula:
Je jasné, že množina M je ideálem.
Ideál je maximální, právě když faktor okruh ZxZ/M je těleso

↑ otula:
Pokud máme okruh celých čísel (což je též obor integrity), tak faktorový okruh je okruh zbytkových tříd modulo n.
V okruhu existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi oboustrannými ideály a kongruencemi.
Pokud faktorizujeme okruh Z podle prvočíselného modulu, jedná se o těleso.

P.S.  Nasadil jste mi brouka do hlavy, je to zapeklitý problém.

↑ Richard Tuček:Děkuji za upřesnění, už jsem včera neměl čas se na to podívat, snad mi na to zbude čas během víkendu, i když mám teda za týden další 3 zkoušky. Ještě před tou odpovědí o faktorovém okruhu jsem si k tomu napsal, že to je maximální okruh, protože ačkoliv jednička (u toho [mathjax]a[/mathjax]) není prvočíslem (a to [mathjax]a[/mathjax] by samo o sobě v okruhu [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax] tvořilo nevlastní ideál), tak v tom kartézském součinu, kdy tvoří nedělitelnou dvojici s tím druhým členem, který je násobkem prvočísla, přechází do vlastního ideálu a na rozdíl od jiných "klasických" neprvočíselných násobků k ní nelze nalézt žádnou nadmnožinu...

Ale chci si to zkusit ověřit ještě pomocí toho faktorového okruhu a případně to tam dopracovat.

↑ otula:
Na množině dvojic žádné klasické sčítání ani násobení neexistuje, obávám se. Jako jedna možnost mě napadá, že by to mohlo být definováno po složkách, tj. (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2) a (x1,x2).(y1,y2)=(x1.y1,x2.y2), ale je potřeba říct, zda to tak je nebo napsat jinou definici.
A samozřejmě je nutné dokázat, že takto definovaná struktura je opravdu okruh.

check_drummer napsal(a):

↑ otula:
Na množině dvojic žádné klasické sčítání ani násobení neexistuje, obávám se. Jako jedna možnost mě napadá, že by to mohlo být definováno po složkách, tj. (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1,x2+y2) a (x1,x2).(y1,y2)=(x1.y1,x2.y2), ale je potřeba říct, zda to tak je nebo napsat jinou definici.
A samozřejmě je nutné dokázat, že takto definovaná struktura je opravdu okruh.

Jasně, omlouvám se, já jsem ten dotaz pochopil úplně jinak. Je to definováno jako [mathjax]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/mathjax] a nic víc tam upřesněno není, takže to také beru po složkách.

check_drummer napsal(a):

↑ otula:
Sice ještě nevím jak je definováno násobení  sčítání, ale zkus se zamyslet nad podstrukturou
[mathjax]M_2=\{(3a,7b)|a,b\in \mathbb{Z}\}[/mathjax]. Podle tvých úvah by to byl maximální ideál, ale on je částí ideálu M...

Sakra, sakra, sakra... Moc děkuji, tohle mě vůbec nenapadlo, zatracený kartézský součin. Předchozí příklad má podobné zadání [mathjax]M=\{(2a,3b)|a,b\in \mathbb{Z}\}[/mathjax] a já jsem tam s klidem napsal, že je to maximální ideál. To budu muset ještě upravit. Hledal jsem po celém internetu, ale pokud jsem něco našel, vždy se to řešilo jen v rámci jedné "dimenze". I v našich skriptech máme popis jen v rámci [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax] či [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax], ale pak máme řešit [mathjax]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/mathjax]