Matematické Fórum

Pokud tedy můžeme předpokládat, že platí vzorec pro výtokovou rychlost [mathjax]v = \sqrt{2gh}[/mathjax] (protože on ve skutečnosti zas tak úplně neplatí), tak - no základ je, že se to bude muset nějak zintegrovat, protože výška se mění jak vytéká ta voda - a rychlost vytékání zase závisí na té výšce.

Je třeba dát dohromady všechno co víme.

Objem sudu je Sp * h  - to je důležité, protože tu máme plochu podstavy sudu Sp, a pak ještě plochu výtokového otvoru So, a musíme si dát pozor, aby se nám to nepopletlo. Takže

V = Sp * h

No a pokud by voda vytékala konstantní rychlostí v, vytekl by celý sud za čas T

V = So * v * T

Protože se ovšem rychlost mění, musíme uvažovat jen v malých změnách těch veličin, tedy

dV = So * v(t) * dt

což se projeví změnou výšky hladiny dh

dV = Sp * dh

To můžeme dát do rovnosti a máme

Sp * dh = So * v(t) * dt

dh/dt = So/Sp * v(t)

To je tak nějak intuitivně jasné, že rychlost klesání hladiny odpovídá rychlosti vytékání, krát poměr těch dvou ploch (otvoru a sudu).

Teď musíme dosadit závislost výtokové rychlosti na té výšce hladiny

dh/dt = So/Sp * V(h(t))

a máme z toho výslednou diferenciální rovnici, tedy

}\sqrt{ h(t)}' onclick="copyMathJax(this.getAttribute('data-tex'))">[mathjax]h' = \frac{S_o}{S_p}\sqrt{2g
}\sqrt{ h(t)}[/mathjax]

Mělo by to jít vyřešit separací konstant, a pak už budeme vědět, jak dlouho voda ze sudu vytéká za danných podmínek.

(doufám, že tam nemám někde nějakou chybu...)