Matematické Fórum

adelasch · 03. 06. 2023 14:02

Ahoj, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem,
Otvorem o prumeru 1 cm pri dne sudu o vysce H vytece voda z plneho sudu za urcitou dobu.
Do jake vysky H0 by se mel naplnit sud, aby z nej vytekla voda otvorem o polovicnım prumeru
za stejnou dobu?
Správný výsledek by měl bát $H^{'} = \frac{1}{16} H$
Tuším, že by se na to mělo jít nějak pomocí $v = \sqrt{2 g h}$ , ale to určitě není všechno. Ještě mě napadlo nějak tam použít výtokovou rychlost Q = S*v , ale asi mi něco uniká.
Díky.

MichalAld

Pokud tedy můžeme předpokládat, že platí vzorec pro výtokovou rychlost $v = \sqrt{2 g h}$ (protože on ve skutečnosti zas tak úplně neplatí), tak - no základ je, že se to bude muset nějak zintegrovat, protože výška se mění jak vytéká ta voda - a rychlost vytékání zase závisí na té výšce.

Je třeba dát dohromady všechno co víme.

Objem sudu je Sp * h - to je důležité, protože tu máme plochu podstavy sudu Sp, a pak ještě plochu výtokového otvoru So, a musíme si dát pozor, aby se nám to nepopletlo. Takže

V = Sp * h

No a pokud by voda vytékala konstantní rychlostí v, vytekl by celý sud za čas T

V = So * v * T

Protože se ovšem rychlost mění, musíme uvažovat jen v malých změnách těch veličin, tedy

dV = So * v(t) * dt

což se projeví změnou výšky hladiny dh

dV = Sp * dh

To můžeme dát do rovnosti a máme

Sp * dh = So * v(t) * dt

dh/dt = So/Sp * v(t)

To je tak nějak intuitivně jasné, že rychlost klesání hladiny odpovídá rychlosti vytékání, krát poměr těch dvou ploch (otvoru a sudu).

Teď musíme dosadit závislost výtokové rychlosti na té výšce hladiny

dh/dt = So/Sp * V(h(t))

a máme z toho výslednou diferenciální rovnici, tedy

}\sqrt{ h(t)}' onclick="copyMathJax(this.getAttribute('data-tex'))"> $h^{'} = \frac{S_{o}}{S_{p}} \sqrt{2 g} \sqrt{h (t)}$

Mělo by to jít vyřešit separací konstant, a pak už budeme vědět, jak dlouho voda ze sudu vytéká za danných podmínek.

(doufám, že tam nemám někde nějakou chybu...)

MichalAld

MichalAld napsal(a):
Pokud tedy můžeme předpokládat, že platí vzorec pro výtokovou rychlost $v = \sqrt{2 g h}$ (protože on ve skutečnosti zas tak úplně neplatí), tak - no základ je, že se to bude muset nějak zintegrovat, protože výška se mění jak vytéká ta voda - a rychlost vytékání zase závisí na té výšce.

Je třeba dát dohromady všechno co víme.

Objem sudu je Sp * h - to je důležité, protože tu máme plochu podstavy sudu Sp, a pak ještě plochu výtokového otvoru So, a musíme si dát pozor, aby se nám to nepopletlo. Takže

V = Sp * h

No a pokud by voda vytékala konstantní rychlostí v, vytekl by celý sud za čas T

V = So * v * T

Protože se ovšem rychlost mění, musíme uvažovat jen v malých změnách těch veličin, tedy

dV = So * v(t) * dt

což se projeví změnou výšky hladiny dh

dV = Sp * dh

To můžeme dát do rovnosti a máme

Sp * dh = So * v(t) * dt

dh/dt = So/Sp * v(t)

To je tak nějak intuitivně jasné, že rychlost klesání hladiny odpovídá rychlosti vytékání, krát poměr těch dvou ploch (otvoru a sudu).

Teď musíme dosadit závislost výtokové rychlosti na té výšce hladiny

dh/dt = So/Sp * V(h(t))

a máme z toho výslednou diferenciální rovnici, tedy

$\frac{d h}{d t} = \frac{S_{o}}{S_{p}} \sqrt{2 g} \sqrt{h (t)}$

Mělo by to jít vyřešit separací konstant, a pak už budeme vědět, jak dlouho voda ze sudu vytéká za danných podmínek.

(doufám, že tam nemám někde nějakou chybu...určitě tam mám chybně znamenénko)

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2023 14:02

výtok vody ze sudu

#2 03. 06. 2023 16:17 — Editoval MichalAld (03. 06. 2023 16:18)

Re: výtok vody ze sudu

#3 03. 06. 2023 16:19 — Editoval MichalAld (03. 06. 2023 16:22)

Re: výtok vody ze sudu

MichalAld napsal(a):

Zápatí