#1 03. 06. 2023 14:02
výtok vody ze sudu
Ahoj, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem,
Otvorem o prumeru 1 cm pri dne sudu o vysce H vytece voda z plneho sudu za urcitou dobu.
Do jake vysky H0 by se mel naplnit sud, aby z nej vytekla voda otvorem o polovicnım prumeru
za stejnou dobu?
Správný výsledek by měl bát [mathjax]H' = \frac{1}{16} H [/mathjax]
Tuším, že by se na to mělo jít nějak pomocí [mathjax]v = \sqrt{2gh}[/mathjax] , ale to určitě není všechno. Ještě mě napadlo nějak tam použít výtokovou rychlost Q = S*v , ale asi mi něco uniká.
Díky.
Offline
#2 03. 06. 2023 16:17 — Editoval MichalAld (03. 06. 2023 16:18)
Re: výtok vody ze sudu
Pokud tedy můžeme předpokládat, že platí vzorec pro výtokovou rychlost [mathjax]v = \sqrt{2gh}[/mathjax] (protože on ve skutečnosti zas tak úplně neplatí), tak - no základ je, že se to bude muset nějak zintegrovat, protože výška se mění jak vytéká ta voda - a rychlost vytékání zase závisí na té výšce.
Je třeba dát dohromady všechno co víme.
Objem sudu je Sp * h - to je důležité, protože tu máme plochu podstavy sudu Sp, a pak ještě plochu výtokového otvoru So, a musíme si dát pozor, aby se nám to nepopletlo. Takže
V = Sp * h
No a pokud by voda vytékala konstantní rychlostí v, vytekl by celý sud za čas T
V = So * v * T
Protože se ovšem rychlost mění, musíme uvažovat jen v malých změnách těch veličin, tedy
dV = So * v(t) * dt
což se projeví změnou výšky hladiny dh
dV = Sp * dh
To můžeme dát do rovnosti a máme
Sp * dh = So * v(t) * dt
dh/dt = So/Sp * v(t)
To je tak nějak intuitivně jasné, že rychlost klesání hladiny odpovídá rychlosti vytékání, krát poměr těch dvou ploch (otvoru a sudu).
Teď musíme dosadit závislost výtokové rychlosti na té výšce hladiny
dh/dt = So/Sp * V(h(t))
a máme z toho výslednou diferenciální rovnici, tedy
}\sqrt{ h(t)}' onclick="copyMathJax(this.getAttribute('data-tex'))">[mathjax]h' = \frac{S_o}{S_p}\sqrt{2g
}\sqrt{ h(t)}[/mathjax]
Mělo by to jít vyřešit separací konstant, a pak už budeme vědět, jak dlouho voda ze sudu vytéká za danných podmínek.
(doufám, že tam nemám někde nějakou chybu...)
Offline
#3 03. 06. 2023 16:19 — Editoval MichalAld (03. 06. 2023 16:22)
Re: výtok vody ze sudu
MichalAld napsal(a):
Pokud tedy můžeme předpokládat, že platí vzorec pro výtokovou rychlost [mathjax]v = \sqrt{2gh}[/mathjax] (protože on ve skutečnosti zas tak úplně neplatí), tak - no základ je, že se to bude muset nějak zintegrovat, protože výška se mění jak vytéká ta voda - a rychlost vytékání zase závisí na té výšce.
Je třeba dát dohromady všechno co víme.
Objem sudu je Sp * h - to je důležité, protože tu máme plochu podstavy sudu Sp, a pak ještě plochu výtokového otvoru So, a musíme si dát pozor, aby se nám to nepopletlo. Takže
V = Sp * h
No a pokud by voda vytékala konstantní rychlostí v, vytekl by celý sud za čas T
V = So * v * T
Protože se ovšem rychlost mění, musíme uvažovat jen v malých změnách těch veličin, tedy
dV = So * v(t) * dt
což se projeví změnou výšky hladiny dh
dV = Sp * dh
To můžeme dát do rovnosti a máme
Sp * dh = So * v(t) * dt
dh/dt = So/Sp * v(t)
To je tak nějak intuitivně jasné, že rychlost klesání hladiny odpovídá rychlosti vytékání, krát poměr těch dvou ploch (otvoru a sudu).
Teď musíme dosadit závislost výtokové rychlosti na té výšce hladiny
dh/dt = So/Sp * V(h(t))
a máme z toho výslednou diferenciální rovnici, tedy
[mathjax]\frac{dh}{dt} = \frac{S_o}{S_p}\sqrt{2g
}\sqrt{ h(t)}[/mathjax]
Mělo by to jít vyřešit separací konstant, a pak už budeme vědět, jak dlouho voda ze sudu vytéká za danných podmínek.
(doufám, že tam nemám někde nějakou chybu...určitě tam mám chybně znamenénko)
Offline