Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 18. 06. 2023 09:57
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:Nech [mathjax]f:N \to N[/mathjax] je bijekcia. Potom [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty} f(a_n)[/mathjax] je prerovnanim radu [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/mathjax].
Offline
#3 18. 06. 2023 10:00
- check_drummer
- Příspěvky: 4897
- Reputace: 105
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:
Laicky řečeno - "Vezmeš ty prvky původní řady v nějakém libovolném pořadí".
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#4 18. 06. 2023 10:22 — Editoval fmfiain (18. 06. 2023 10:26)
Re: Prerovnanie rady
Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
platí to iba pre rad prirodzených čísel: [mathjax]f:N \to N[/mathjax]?
Čítam tu, že sa tu jedná o absolútne konvergentné členy, tak asi áno.
Ďakujem za odpoveď.
Offline
#5 18. 06. 2023 10:26 — Editoval vlado_bb (18. 06. 2023 10:28)
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:[mathjax]a_n[/mathjax] dokonca ani nemusia byt cisla, mozu to byt prvky lubovolnej mnoziny na ktorej existuje sucet a konvergencia. Funkcia f je bijekcia na N.
Co su to “absolutne konvergentne cleny”?
Offline
#6 18. 06. 2023 10:32
Re: Prerovnanie rady
Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
ja som myslel radu: [mathjax]|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + ...[/mathjax]
Offline
#7 18. 06. 2023 10:34
#8 18. 06. 2023 10:36
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:
Přerovnání je přeházení, změna pořadí.
Při konečném počtu sčítanců platí toto: ať je jakkoli zpřeházíme (zaměníme pořadí), součet se nezmění.
Pro absolutně konvergentní řady platí: Ať ji jakkoli přerovnáme, součet se nezmění.
U neabsolutně konvergentní řady se může součet přerovnáním změnit.
Platí toto: Určím si číslo a mohu ji přerovnat tak, aby byl součet předem dané číslo.
Offline
#9 18. 06. 2023 10:42 — Editoval fmfiain (18. 06. 2023 10:42)
Re: Prerovnanie rady
Dobrý deň ↑ Richard Tuček:,
ak som to správne pochopil: ak mám v rade dve čísla, jedno má hodnotu [mathjax]a[/mathjax] a druhé má hodnotu [mathjax]-a[/mathjax], stačí ich napísať k sebe (prípadne ešte do zátvoriek) a ak ku každému takémuto [mathjax]a[/mathjax] nájdem aj [mathjax]-a[/mathjax], súčet rady je [mathjax]0[/mathjax].
Offline
#10 18. 06. 2023 10:53
#11 18. 06. 2023 10:56
Re: Prerovnanie rady
Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
rad: [mathjax]\sum (-1)^n[/mathjax] nekonverguje ale osciluje. Nemá vlastnú ani nevlastnú limitu. (Ak si správne pamätám)
Offline
#12 18. 06. 2023 11:08 — Editoval vlado_bb (18. 06. 2023 11:09)
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:Nekonecny rad nema limitu. Tu moze (a nemusi) mat postupnost jeho clenov, pripadne ciastocnych suctov. Rad moze (a nemusi) mat sucet.
Offline
#13 18. 06. 2023 11:36
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:
Součet řady je limita posloupnosti částečných součtů. Ta může a také nemusí existovat.
Je tu ještě další záludnost. Např. řada Suma(-1)^k = -1 + 1 - 1 + 1 - ...
Posloupnost částečných součtů nemá limitu. Když ji ale uzávorkujeme, tak řada má nulový součet (-1+1)+(-1+1)+... = 0
-1 + (1-1)+(1-1) = -1
Posloupnost nemusí mít limitu, ale vybraná posloupnost ji může mít
Offline
#17 18. 06. 2023 17:57
#18 18. 06. 2023 18:00
Re: Prerovnanie rady
fmfiain napsal(a):
Dobrý deň,
našiel som jeden druh prerovnania: suma všetkých členov a súčet všetkých záporných členov hneť za tým.
Ale neviem na čo mi také prerovnanie je.
Cize kazdy zaporny clen je tam dvakrat? To uz nie je prerovnanie.
Offline
#19 18. 06. 2023 18:32
Re: Prerovnanie rady
Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
už som to zmenil. Malo to byť všetky kladné + všetky záporné.
Offline
#20 18. 06. 2023 18:36
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:Uvazujme tuto upravu pre rad [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n[/mathjax]. Na ktorom mieste bude prvy zaporny clen?
Offline
#21 18. 06. 2023 19:02
Re: Prerovnanie rady
Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
Čo ak popíšem rad takto:
[mathjax]a = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n}[/mathjax]
[mathjax]b = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n-1}[/mathjax]
Potom
[mathjax]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n = a+b[/mathjax]
Offline
#22 18. 06. 2023 19:19
Re: Prerovnanie rady
↑ vlado_bb:
Hele, když teda budu mít řadu
1 + -1 + 1 + -1 + ...
a udělám z ní řadu
1 + -1 + 1 + 1 + -1 + 1 + 1 + 1 + -1 + ...
Tak to je nebo není přerovnání ?
Offline
#23 18. 06. 2023 19:34 — Editoval vlado_bb (18. 06. 2023 19:41)
Re: Prerovnanie rady
↑ fmfiain:Na pravej strane nie je rad, ale sucet dvoch cisel. Teda, v tomto pripade nejde o cisla, pretoze tie rady nie su konvergentne. Ale nejde o prerovnanie, z uz uvedeneho dovodu.
Offline