Matematické Fórum

Prerovnaním ľubovoľného radu dostaneš iný rad ak to nie je triviálne prerovnanie (kde príslusná bijekcia je identita) pri relatívne konvergentných radoch však môže prerovnaný rad mať iný súčet či dokonca z konvergentného urobiť divergentný a naopak. Pri absolútne konvergentných radoch prerovnanie zmení rad ale nie súčet.
Dokonca pre každý relatívne konvergentný rad  a  pre každé [mathjax2]-\infty\leq a\leq b\leq \infty[/mathjax2]možno nájsť jeho prerovnanie tak aby [mathjax2]\liminf_{n}{\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k}}=a [/mathjax2][mathjax2]\limsup_{n}{\sum\limits_{k=0}^{n}{a_k}}=b[/mathjax2]

↑ fmfiain:Tak skus formulovat svoje otazky tak, aby bolo jasne, na co sa vlastne pytas.

Dobrý deň ↑ check_drummer:,
žiaľ máš pravdu. Včera som zistil, aký je rozdiel medzi relatívne a absolútne konvergujucou radou.
Chcel by som sa opýtať, čo znamená
[mathjax]\lim sup[/mathjax]
a
[mathjax]\lim inf[/mathjax]

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
nie som si istí, či som to správne preložil. Píše sa tam, že [mathjax]\lim_{n\to\infty}sup x_{n}[/mathjax] znamená najväčšie číslo postupnosti nachádzajúce sa v rade na konci rady a [mathjax]\lim_{n\to\infty} infx_{n}[/mathjax] zase najmenšie. Ak rada konverguje tak [mathjax]\lim_{n\to\infty} infx_{n} = \lim_{n\to\infty} sup x_{n}[/mathjax], ak diverguje, tak [mathjax]\lim_{n\to\infty} infx_{n} = - \infty[/mathjax] alebo [mathjax]\lim_{n\to\infty} supx_{n} = \infty[/mathjax] a to druhé je reálne číslo alebo sú oboje [mathjax]\lim_{n\to\infty} supx_{n} = \infty[/mathjax] a [mathjax]\lim_{n\to\infty} infx_{n} = - \infty[/mathjax].
Prosím opravte ma ak sa mýlim.

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
čítam Jarníka Diferencialny pocet II. Na strane 71 príklad 4 je napísané: Majme dve postupnosti: [mathjax]a_{3k+1} = 1 [/mathjax], [mathjax]a_{3k+2} = \frac{3}{4} [/mathjax], [mathjax]a_{3k+3} = 0[/mathjax] a [mathjax]b_{3k+1} = 0[/mathjax], [mathjax]b_{3k+2} = \frac{3}{4}[/mathjax], [mathjax]b_{3k+3} = 1[/mathjax].
Postupnosti vyzerajú takto:
[mathjax]1, \frac{3}{4}, 0, 1, \frac{3}{4}, 0, 1, \frac{3}{4}, 0 ...[/mathjax]
[mathjax]0, \frac{3}{4}, 1, 0, \frac{3}{4}, 1, 0, \frac{3}{4}, 1 ...[/mathjax]
Potom: [mathjax]\lim \sup a_{n} + \lim \sup b_{n} = 1 + 1 = 2[/mathjax]
[mathjax]\lim \inf a_{n} + \lim \sup b_{n} = 0 + 1 = 1[/mathjax]
[mathjax]\lim \sup (a_{n} +  b_{n} )= \frac{3}{4} + \frac{3}{4} =  \frac{3}{2}[/mathjax]

Lenže to sú postupnosti, nie rady. Definíciu pre rady tu nevidím.

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
na strane 113 príklad 1 je napísané d´Alembertovo kritérium kritérium: ak máme v rade [mathjax]\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1[/mathjax], kde [mathjax]a_{n}[/mathjax] je n-tý člen rady a [mathjax]a_{n+1}[/mathjax] je n+1-tý člen rady, tak je rada konvergentná. A je tam napísaná ekvivalencia: [mathjax]\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1[/mathjax].
Tu sa ale spomína n-tý člen radu, nie súčet n prvkov radu.

fmfiain napsal(a):

Lenže to sú postupnosti, nie rady. Definíciu pre rady tu nevidím.

Definiciu COHO pre rady?

↑ fmfiain:Rad 1+1+1+0+0+0+0+ ... (dalej su uz iba nuly)

Ciastocne sucty: 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, ... (dalej su uz iba trojky)

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
a jeho n-ty čiastočný súčet je?

fmfiain napsal(a):

Dobrý deň ↑ vlado_bb:
definíciu čiastočného súčtu.

Tu je: [mathjax]s_n=a_1+a_2+\dots+a_n[/mathjax]