Matematické Fórum

↑ zvedavec123:

Já ale nechci žádné kyvadlo postavit, mě jen mate, proč můžu jeho pohyb rozložit na rotační a translační složku.

Translační pohyb je tehdy, když všechny body mají v nějakém okamžiku stejné rychlosti. Ale protože u té koule nemají všechny body od upevnění stejnou vzdálenost, tak mají jiné obvodové rychlosti. Proto nechápu, proč to mohu brát jako translační pohyb.

Prvočíslo napsal(a):

Podle mě nemohu brát pohyb jako translaci, protože všechny body neopisují stejné trajektorie.

Ale můžeš to brát jako složení rotace kolem těžiště koule úhlovou rychlostí [mathjax]\omega[/mathjax] a zároveň translaci (po kružnici) rychlostí v která je rovná [mathjax]v = \omega d[/mathjax]. Čímž pádem dostáváš úplně stejný výsledek.

Ten předpoklad, že koule rotuje dle svého těžiště je podstatný, protože jen v takovém případě je celková energie rovna součtu rotační a translační energie. Pokud by těleso rotovalo kolem jiného bodu, tak se tam objeví ještě další člen.

Pak ještě ta představa že je kulikčka zavěšená na provázku je taky dost zavádějící, lepší by bylo použít představu nehmotné tyčky, pak je jasné, že se koule musí otáčet stejně jako se kývá.

Lze, ale není to úplně triviální (zrovna jsem si to zkoušel odvodit) ukázat, že pokud těleso koná rotační pohyb kolem svého těžiště a zároveň se to těžiště pohybuje translačním pohybem po nějaké křivce (nemusí to být nutně přímka), no tak celková energie je součet té rotační a translační. Platí to ovšem jen když těleso rotuje kolem svého těžiště. Jinak se tam objeví ještě ten "smíšený člen".

Ale já nevím, jestli to co tvrdíš ty je správné. Energie kývající se koule není jen energie stejně těžkého hmotného bodu. Ještě je k tomu potřeba připočíst tu energii rotačního pohybu koule. Z pohledu translačního pohybu té koule je jedno, jestli je její hmotnost soustředěna v jejím středu, nebo je rozložena v prostoru té koule. Z pohledu rotačního pohybu už to samozřejmě jedno není.

Tak jo, zkusím to ještě jednou (a naposledy). Celé to tvé "soustředění hmotnosti někam" je nejspíš chybná úvaha.

Univerzální postup jak se dobrat kinetické energie je prostě sečíst všechny "hmotné body" co v systému máme, dle vztahu [mathjax]E_i = \frac{1}{2}m_iv_i^2[/mathjax]. Pro tuhá tělesa to platí úplně stejně, tuhé těleso musíme rozdělit na nekonečně malé elementy a pro každý z nich určit kinetickou energii, a pak je zase sečíst. Dělá se to samozřejmě přes (obecně trojný) integrál.

Tedy [mathjax]E_k = \frac{1}{2}\int v^2 dm[/mathjax]. Je to takový spíš formální zápis, s tím dm jako elementem hmotnosti. Tohle platí vždycky, pro jeden bod, pro více bodů, pro tuhé těleso, více tuhých těles, i pro tekutiny, prostě vždycky.

Rotační pohyb je naproti tomu jen taková berlička, jak si usnadnit život. Není to nový fyzikální zákon, všechny věci ohledně rotačního pohybu lze odvodit z toho translačního. Takže třeba kinetická energie rotačního pohybu kolem nějakého bodu - prostě jen dosadíme za [mathjax]v = \omega \times r[/mathjax] no a pro kinetickou energii tak získáme vztah

[mathjax]E_k = \frac{1}{2}\int \omega^2 r^2 dm = \frac{1}{2} \omega^2 \int  r^2 dm[/mathjax]


úhlová rychlost je konstantní, takže může před integrál, a ten zbytek - ten se v úlohách rotačního pohybu vyskytuje často, takže se to zavedlo jako nová veličina, známá jako moment setrvačnosti.

Pokud těleso rotuje kolem nějaké osy a zároveň vykonává translační pohyb, tak rychlost každého bodu je složena ze dvou složek - z té rychlost translačního pohybu a z rychlosti rotačního pohybu. Tedy

[mathjax]E_k = \frac{1}{2}\int v^2 dm=\frac{1}{2}\int(v_T + \omega \times r)^2dm=\frac{1}{2}\int v_T^2 dm + \frac{1}{2}\int 2v_T \omega r dm +\frac{1}{2}\int \omega^2 r^2 dm [/mathjax]

První člen je tedy stejný, jako kdyby těleso vykonávalo jen translační pohyb, a poslední člen je zase stejný jako kdyby vykonávalo jen rotační pohyb.

Prostřední člen je trochu zvláštní, a musíme si vzpomenout na to, že integrál [mathjax]\int  r dm [/mathjax] nám definuje polohu těžiště tělesa. Pokud naše rotace bude kolem těžiště, bude tento člen nulový, pokud né, bude představovat nějaký další příspěvek k celkové energii.

Líp už to vysvětlit neumím. Základní vztah pro kinetickou energii je sečíst všechny mv^2, a lze to udělat obecně více způsoby.  V rovině ale těleso žádný sofistikovanější pohyb vykonávat nemůže. K jednoznačnému určení polohy (a tedy i pohybu) tělesa stačí popsat jak se pohybuje jeden jeho bod (to je ten translační pohyb) a pro druhý bod tělesa už jen úhel proti tomu prvnímu bodu (to je ta rotace). Více toho už určit nemůžeme. Takže každý pohyb takového tělesa lze popsat jednou translací a jednou rotací. Tedy třeba rychlostí nějakého bodu a úhlovou rychlostí rotace kolem tohoto bodu.

Samozřejmě je vhodné, když ten bod je těžiště, ale není to úplně podmínka. Jen nesmíme zapomenout na ten smíšený člen ve vztahu pro celkovou energii.

U tvého kyvadla můžeme buď uvažovat, že jde o čístě rotační pohyb (kolem toho bodu, kde je provázek zavěšený), nebo že jde o kombinaci translačního pohybu středu koule po jisté kružnici a rotačního pohybu koule kolem jejího středu jistou úhlovou rychlostí.

Energie musí vyjít v obou případech stejná. Klidně si ale můžeme zvolit i jiný bod, jen to není příliš vhodné. Tyhle dva body jsou dost speciální - v prvním případě tam není vůbec ten translační pohyb, a ve druhém je zase rotace kolem těžiště. V obou případech je výpočet energie jednodušší než tím obecným vzorcem.

zvedavec123 napsal(a):

↑ MichalAld: Veci treba robiť jednoducho

... pokud to jde.

↑ Prvočíslo:

To záleží na tom, co bereš jako úhlovou rychlost rotace země. Pokud vezmeš tu správnou - tedy vzhledem k inerciální soustavě, vzhledem ke hvězdám, asi, tak to vyjde správně. Pokud vezmeš tu vzhledem ke slunci (tu, podle které určujeme dny), tak ti tam bude kus energie chybět. Je to úplně stejné, jako s tím kyvadlem.

Jinak, zase - pokud je pohyb tělesa složením dvou rotací, jako že rotace kolem bodu X (střed Slunce) a kolem bodu Y (střed Země), tak je otázka, jak z toho celkovou energii určit. Muselo by se to zase pečlivě spočítat (nebo najít). Já to z hlavy nevím. Intuitivně bych řekl, že to bude energie rotace hmotného bodu o hmotnosti Země kolem Slunce plus Rotace Země kolem svého středu, ale úplně jistý si tím nejsem, muselo by se to zase odvodit. Nicméně to zjevně vychází stejně jako energie translačního středu Země po kružnici kolem Slunce, a energie rotace Země kolem svého těžiště, a to už jsem odvodil před chvílí, že správný výsledek je, takže tohle bude taky.

Protože tady je to principiélně přeci stejné, u kyvadla ta koule akorát ještě nerotuje jako Země kolem vlastní osy.

Rotuje i u kyvadla. Když by nerotovala, tak by třeba barevně označený vršek koule mířil pořád nahoru. Což u kyvadla určitě nenastává....
Akorát že rotuje kolem své osy stejnou úhlovou rychlostí jako kolem středu kyvadla. Což u obíhající Země tak není. Ale je to tak třeba u Měsíce obíhajícího Zemi.

↑ MichalAld:

Pokud budu uvažovat, že Země nerotuje kolem své osy s úhlovou rychlostí [mathjax]\omega_1[/mathjax] o periodě jednoho dne, tak pokud se pak pohybuje kolem Slunce s úhlovou rychlostí [mathjax]\omega_2[/mathjax] o periodě jednoho roku, tak pak je výpočet její kinetická energie stejný jako u toho kyvadla, ne? Tedy [mathjax]\frac 12 (J_0+Md^2){\omega_2}^2[/mathjax].

Pokud ale ještě rotuje kolem své osy, tak pak musím přičíst ještě [mathjax]\frac 12 J_0 {\omega_1}^2[/mathjax]. Takto to vidím já, proto moc nerozumím, proč bych to měl brát jenom jako součet energie rotace kolem své osy a translační energie těžiště. Proč tomu tak je?

Prvočíslo napsal(a):

↑ MichalAld:
Pokud budu uvažovat, že Země nerotuje kolem své osy s úhlovou rychlostí [mathjax]\omega_1[/mathjax] o periodě jednoho dne, tak pokud se pak pohybuje kolem Slunce s úhlovou rychlostí [mathjax]\omega_2[/mathjax] o periodě jednoho roku, tak pak je výpočet její kinetická energie stejný jako u toho kyvadla, ne? Tedy [mathjax]\frac 12 (J_0+Md^2){\omega_2}^2[/mathjax].

To by znamenalo, že rotuje kolem své osy s periodou 1 roku. Tedy, že je natočená ke slunci pořád stejnou stranou. Pak by to bylo stejné jako u kyvadla.

Pokud by neměla rotovat vůbec, tak to znamená, že jeden den bude stejně dlouhý jako jeden rok.

Jinak, když už chceš používat pojmy jako den nebo rok ve fyzikálních výpočtech, stálo by za to si udělat jasno v tom, co to přesně znamená. 1 den není jedna celá otáčka, a 1 rok ... no roků jsou asi tři druhy. Lepší by bylo používat pojmy jako jeden oběh země kolem slunce a jedna otáčka země kolem osy. A tomu příslušející periody. Ale beru, že tohle je teď okrajový problém.

MichalAld napsal(a):

↑ Prvočíslo:

Intuitivně bych řekl, že to bude energie rotace hmotného bodu o hmotnosti Země kolem Slunce plus Rotace Země kolem svého středu...

No a to je právě to, co mi vrtá hlavou, proč to beru jako rotaci hmotného bodu kolem Slunce a ne jako rotaci koule kolem Slunce?

Prvočíslo napsal(a):

MichalAld napsal(a):

↑ Prvočíslo:

Intuitivně bych řekl, že to bude energie rotace hmotného bodu o hmotnosti Země kolem Slunce plus Rotace Země kolem svého středu...

No a to je právě to, co mi vrtá hlavou, proč to beru jako rotaci hmotného bodu kolem Slunce a ne jako rotaci koule kolem Slunce?

No to já nevím, proč to bereš tak a né jinak.

Nejjednodušší bude, když si to namaluješ. Na kus papíru si namaluj Zemi (i s nějakými kontinenty, ať víš která strana je která) a k tomu bod, kolem kterého to má rotovat (střed slunce). Do něj zapíchni špendlík a pak si s tím otáčej. Pochopíš hned, že země udělá jednu otáčku za jeden oběh.

Prvočíslo napsal(a):

↑ MichalAld:
No já chápu, že Země se takto jednou kolem své osy otočí, jenže to odpovídá 365 dnům. To by pak znamenalo, že se Země otočí kolem své osy za jeden rok.

Ale to je pořád něco jiného než kdyby se neotočila vůbec.

Pokud se země při oběhu slunce nebude točit vůbec, bude její kinetická energie

[mathjax]E = \frac{1}{2} \omega^2 mr^2 + \frac{1}{2} (0 \cdot \omega)^2 I[/mathjax]

(kde ta úhlová rychlost odpovídá periodě jednoho (siderického, hvězdného) roku)

Pokud bude natočená ke slunci stále stejnou stranou (tedy za rok uběhne 0 dní), tak

[mathjax]E = \frac{1}{2} \omega^2 mr^2 + \frac{1}{2} (1 \cdot \omega)^2 I[/mathjax]

Pokud za jeden oběh uběhne jeden den, tak

[mathjax]E = \frac{1}{2} \omega^2 mr^2 + \frac{1}{2} (2 \cdot \omega)^2 I[/mathjax]

Pokud za jeden oběh uběhnou 2 dny, tak

[mathjax]E = \frac{1}{2} \omega^2 mr^2 + \frac{1}{2} (3 \cdot \omega)^2 I[/mathjax]

...

Pokud za jeden oběh uběhne 365 dní, tak

[mathjax]E = \frac{1}{2} \omega^2 mr^2 + \frac{1}{2} (366 \cdot \omega)^2 I[/mathjax]


Líp už nevím, jak to vysvětlit. S tím, že ten první člen [mathjax]E = \frac{1}{2} \omega^2 mr^2 = \frac{1}{2}mv^2[/mathjax] můžeme stejně dobře pokládat za translační nebo rotační energii. Je to čistě filozofická otázka...