Matematické Fórum

Řešená situace
Pro jednoduchost předpokládejme situaci v rovině.
Lano o délce [mathjax] L=l_{1}+l_{2}+l_{3}[/mathjax] je upevněno v bodech [mathjax]A[/mathjax] a [mathjax]D[/mathjax] o známých souřadnicích.
Body [mathjax]B[/mathjax] a [mathjax]C[/mathjax] nejsou definovány souřadnicemi, nýbrž toliko vzdálenostmi na laně [mathjax]l_{1}[/mathjax], [mathjax]l_{2}[/mathjax] a [mathjax]l_{3}[/mathjax].
Pokud v bodech [mathjax]B[/mathjax] a [mathjax]C[/mathjax] zavěsím hmotnosti [mathjax]m_{1}[/mathjax] a [mathjax]m_{2}[/mathjax], skončí soustava po chvíli pohupování v rovnováze.
Jak toto ekvilibrium geometricky popsat? Jaké budou rovinné úhly jednotlivých úseků lan [mathjax]l_{1}[/mathjax], [mathjax]l_{2}[/mathjax] a [mathjax]l_{3}[/mathjax]?. Resp. jaké budou souřadnice bodů [mathjax]B[/mathjax] a [mathjax]C[/mathjax]?



Co jsem zkoušel
- Dovedu vyřešit situaci s jedním závažím.
- Zkusil jsem lamyho větu + vyjádřit rovnicemi vztahy mezi různými úhly v soustavě (dle základních poznatků: součet úhlů v n-úhelníku, goniometrie apod.). Pořád mám ale víc neznámých, než rovnic.
- Pokud znám výsledek (celou geometrii soustavy), dovedu pomocí rozkladu sil dokázat, že je správný / chybný. Podmínka: Tah v úseku [mathjax]l_{2}[/mathjax] musí vycházet z obou stran stejně.
- Zorientoval jsem se v pojmech body volnosti a statická neurčitost. Ale našel jsem postupy pouze pro situace, kdy vazby odeberou více bodů volnosti, než soustava má. Což není tento případ, tato soustava má jeden bod volnosti (pokud lana pro zjednodušení nahradíme pruty).

Otázky
- Lze se vůbec dobrat výsledku obyčejným rozkladem sil / lamyho větou / znalostí úhlů, prostě geometricky?
- Jaký matematický aparát je na to vlastně zapotřebí? Kterým směrem jít, co si dostudovat?
- Existuje nějaký postup i pro naprosto obecnou situaci?
    - n bodů se závažím (ne jen 2)
    - závaží nahradit obecným vektorem (síla nemusí směřovat kolmo dolů)
    - celé to řešit v prostoru a ne pouze v rovině
    - libovolný vektor nahradit jiným lanem (vytvořit síť)


Předem moc děkuju za jakékoli nasměrování.