Matematické Fórum

Ahoj,

zkoušela jsem to spočítat, a to co sem napíšu je bez záruky (nejsem si jistá, že můj postup je ok a není to jenom lidová tvořivost).

Máme křivkový integrál druhého druhu. Nejdříve jsem se to snažila spočítat pomocí sférických souřadnic,
ale k ničemu pořádnému to nevedlo. Když se podívám na rovnice, tak křivka je daná jako průnik sféry se středem
v počátku souřadnic a poloměrem 1 a roviny, procházející počátkem souřadnic. Výsledná křivka musí být kružnice.

z  = - x - y (a rozhodně z nemůže být  pro všechny body kružnice rovno 0 )
a pro x, y jsem si řekla, že použiji polární souřadnice s r=1.

Není nějaké zobrazení P= (P1,P2), které by reflektovalo, že je to jen otočení kružnice?

Matice pro otočení je
[mathjax]\begin{pmatrix}cos(\beta ) & sin(\beta )  \\-sin(\beta )& cos(\beta )  \end{pmatrix}[/mathjax]

Tedy
[mathjax]\begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos(\beta ) & sin(\beta )  \\-sin(\beta )& cos(\beta )  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}[/mathjax]

Úhel beta  se počítá jako úhel mezi rovinami z = 0 a x+y+z = 0. z lze pak také dopočítat.
Máme tedy parametrizovanou křivku a integrál ze spočítat z definice.

Ta Stokesova věta říká, že namísto křivkového integrálu z vektoru V můžeme počítat plošný integrál vektoru rot V. Pro tvůj vektor V=(y,z,x) je jeho rotace rot(y,z,x)= (-1, -1, -1). Což je tedy konstantní vektorové pole. No a plošný integrál takovéhoto konstantního pole přes kružnici je prostě plocha té kružnice, krát průmět tohoto vektoru do normálny té kružnice.

Takže stačí najít, jak je ta kružnice velká a jak je nakloněná vzhledem k našemu vektorovému poli, a je to. Mě už se to úplně nechce počítat, ale z rovnic té kružnice, x^2+y^2+z^2=1, x+y+z=0 - první je koule o poloměru 1, a druhá je rovina procházející počátkem, a jestli si to vzpomínám dobře, tak její normálový vektor je 1, 1, 1. Takže rovnoběžný s naším vektorovým polem.

Čímž pádem se to redukuje na plochu té kružnice (což je PI, protože koule má střed v počátku a rovina také prochází počátkem) krát velikost toho vektoru (odmocnina ze 3) krát ta (-1).

Ale už mám za sebou pár panáků, takže je možné, že to vidím jednodušší než to ve skutečnosti je.

↑ laszky:
Ale nejspíš je to tak, že jde jen zorientovat vůči sobě plocha a křivka která ji ohraničuje.

Ja len formálne spíšem čo tu bolo povedané v jazyku 1-foriem a 2-foriem.

Nech [mathjax]D[/mathjax] je plocha daná [mathjax]x^2+y^2+z^2\le 1[/mathjax], [mathjax]x+y+z=0[/mathjax] potom jej hranica je [mathjax]\partial D=C[/mathjax] zo zadania.
Stokes hovorí:

[mathjax]\int_{\partial D} ydx+zdy+xdz = \int_{D} d(ydx+zdy+xdz)=\int_{D} dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz=(*)=[/mathjax]

[mathjax]=\int_{D} -dy\wedge dz-dz\wedge dx-dx\wedge dy= \int_{D}-dS_x-dS_y-dS_z= \int_{D} (-1,-1,-1)\cdot \vec{dS}=[/mathjax]

Normálový vektor plochy [mathjax]D[/mathjax] je [mathjax](1,1,1)[/mathjax] a jednotkový je teda [mathjax]\pm\frac{1}{\sqrt 3}(1,1,1)[/mathjax] kde znamienko je dané orientáciou, ktorá ako bolo povedané je zadaná nekorektne, ale autor asi myslel tú ktorá povedie na plus.

[mathjax]= \int_{D} (-1,-1,-1)\cdot \frac{1}{\sqrt 3}(1,1,1) dS=-\sqrt{3}\int_{D} dS=-\sqrt{3}S(D)=-\sqrt{3}\pi[/mathjax]


Alternatívny návrh bol od [mathjax](*)[/mathjax] pokračovať redukciou rozmeru .. [mathjax]z=-x-y[/mathjax] a teda [mathjax]2x^2+2y^2+2xy\le 1[/mathjax] je plocha [mathjax]D'[/mathjax] - v súlade s predchádzajúcou voľbou orientácie, je orientovaná kladne v rovine [mathjax]xy[/mathjax]. Nie je to presne to čo hovoril ↑ laszky:, ale zachytáva to ducha jeho postupu.

[mathjax]=\int_{D'}dy\wedge dx -(dx+dy)\wedge dy -dx\wedge (dx+dy)=\int_{D'}-3dx\wedge dy[/mathjax]

t.j. -3 krát obsah elipsy [mathjax]D'[/mathjax] ktorú si môžeme upraviť transformáciou [mathjax]x=u-v, y=u+v[/mathjax] (nemení orientáciu) .. [mathjax]6u^2+2v^2\le 1[/mathjax]

[mathjax]\int_{D'}-3dx\wedge dy = \int_{D'} -3(du-dv)\wedge (du+dv)=\int_{D'}-6 du\wedge dv = -6S(D')=[/mathjax]

obsah elipsy by sme mohli počítať integrálom, rovnica v súradniciach [mathjax]u,v[/mathjax] sa dobre parametrizuje, alebo si spomenieme na vzorček ([mathjax]\pi ab[/mathjax]) a máme

[mathjax]=-6\pi\sqrt{1/6}\sqrt{1/2}=-\sqrt{3}\pi[/mathjax]


Prvý postup je výpočtovo ľahší ako ten druhý, ale konceptuálne je asi náročnejší, lebo vyžaduje plošný integrál I. druhu, ktorý je podľa mňa vo formách paradoxne náročnejší ako ten II. druhu.

↑ Brano:
Tak to jsem rád, že mi to vyšlo taky tak.

↑ MichalAld:
ak tomu spravne rozumiem, tak on ju natocil, parametrizoval a natocil naspat

↑ MichalAld:

S tou kružnici musíš samozřejmě otáčet i to pole - viz na obrázku  ↑ Eratosthenes: červený a modrý vektor (modrou otočenou kružnici už jsem tam nepatlal).