Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 01. 2024 09:07

TheFencer
Zelenáč
Příspěvky: 1
Škola: FM TUL
Pozice: Student
Reputace:   
 

Křivkový a plošný integrál ve 3D

Mám příklad [mathjax]\int_{\mathbb{C}}^{}ydx+zdy+xdz[/mathjax], kde křivka C je kladně orientovaná kružnice dána rovnicemi: x^2+y^2+z^2=1, x+y+z=0. Mělo by se to tedy počítat přes Stokesovu větu, ale netuším kde začít. Začnul jsem určením sférických souřadnic, ale tam jsi i skončil. Nevím, jestli jsem to měl dobře zapsané.
Vyjádřil jsem si z=-x-y.
x=r*sin(u)cos(v)
y=r*sin(u)sin(v)
takže z=-(r*sin(u)cos(v)+r*sin(u)sin(v))? (Je možné že by mi vyšlo 0?)
Po sférických souřadnicích by se mělo přejít na vzoreček Stokesovy věty?

Offline

 

#2 20. 01. 2024 19:58

Pomeranc
Příspěvky: 682
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

Ahoj,

zkoušela jsem to spočítat, a to co sem napíšu je bez záruky (nejsem si jistá, že můj postup je ok a není to jenom lidová tvořivost).

Máme křivkový integrál druhého druhu. Nejdříve jsem se to snažila spočítat pomocí sférických souřadnic,
ale k ničemu pořádnému to nevedlo. Když se podívám na rovnice, tak křivka je daná jako průnik sféry se středem
v počátku souřadnic a poloměrem 1 a roviny, procházející počátkem souřadnic. Výsledná křivka musí být kružnice.

z  = - x - y (a rozhodně z nemůže být  pro všechny body kružnice rovno 0 )
a pro x, y jsem si řekla, že použiji polární souřadnice s r=1.

Není nějaké zobrazení P= (P1,P2), které by reflektovalo, že je to jen otočení kružnice?

Matice pro otočení je
[mathjax]\begin{pmatrix}cos(\beta ) & sin(\beta )  \\-sin(\beta )& cos(\beta )  \end{pmatrix}[/mathjax]

Tedy
[mathjax]\begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos(\beta ) & sin(\beta )  \\-sin(\beta )& cos(\beta )  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}[/mathjax]

Úhel beta  se počítá jako úhel mezi rovinami z = 0 a x+y+z = 0. z lze pak také dopočítat.
Máme tedy parametrizovanou křivku a integrál ze spočítat z definice.

Offline

 

#3 21. 01. 2024 01:58 — Editoval laszky (21. 01. 2024 02:20)

laszky
Příspěvky: 2372
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   197 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ TheFencer:

Ahoj, jiny mozny postup je dosazenim [mathjax]z=-x-y[/mathjax] do [mathjax] 1=x^2+y^2+z^2[/mathjax] ziskat [mathjax] {\displaystyle 1=x^2+y^2+(x+y)^2=\frac{3}{2}(x+y)^2+\frac{1}{2}(x-y)^2 }[/mathjax],

takze [mathjax] {\displaystyle \cos t = \sqrt{\frac{3}{2}}(x+y) } [/mathjax] a [mathjax] {\displaystyle \sin t = \sqrt{\frac{1}{2}}(x-y) } [/mathjax]. To znamena, ze parametrizace kruznice (vyjadri [mathjax]x[/mathjax] a [mathjax]y[/mathjax]) je

[mathjax] {\displaystyle x(t) = \frac{1}{\sqrt{6}}\cos t + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin t } [/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle y(t) = \frac{1}{\sqrt{6}}\cos t - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin t } [/mathjax]
[mathjax] {\displaystyle z(t) = -\sqrt{\frac{2}{3}}\cos t  } [/mathjax]
[mathjax] t\in [0,2\pi) [/mathjax]

EDIT: Jinak by me zajimalo, jak se definuje kladne orientovana krivka ve 3D?

Offline

 

#4 22. 01. 2024 23:00

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

Ta Stokesova věta říká, že namísto křivkového integrálu z vektoru V můžeme počítat plošný integrál vektoru rot V. Pro tvůj vektor V=(y,z,x) je jeho rotace rot(y,z,x)= (-1, -1, -1). Což je tedy konstantní vektorové pole. No a plošný integrál takovéhoto konstantního pole přes kružnici je prostě plocha té kružnice, krát průmět tohoto vektoru do normálny té kružnice.

Takže stačí najít, jak je ta kružnice velká a jak je nakloněná vzhledem k našemu vektorovému poli, a je to. Mě už se to úplně nechce počítat, ale z rovnic té kružnice, x^2+y^2+z^2=1, x+y+z=0 - první je koule o poloměru 1, a druhá je rovina procházející počátkem, a jestli si to vzpomínám dobře, tak její normálový vektor je 1, 1, 1. Takže rovnoběžný s naším vektorovým polem.

Čímž pádem se to redukuje na plochu té kružnice (což je PI, protože koule má střed v počátku a rovina také prochází počátkem) krát velikost toho vektoru (odmocnina ze 3) krát ta (-1).

Ale už mám za sebou pár panáků, takže je možné, že to vidím jednodušší než to ve skutečnosti je.

Offline

 

#5 22. 01. 2024 23:13

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

laszky napsal(a):

EDIT: Jinak by me zajimalo, jak se definuje kladne orientovana krivka ve 3D?

To je zajímavá otázka - ale nějak by to jít mělo. Nebude to nějak souviset s vektorovým součinem?
Já si vzpomínám, že plochu nějak orientovat jdou - některé teda. Přímo se mluvilo o orientovatelných plochách. Třeba Morbiův list orientovatelný není.

Ale víc už nevím. Vím jen, že když otočíme orientaci, vyjde nám ten integrál s opačným znaménkem. Je klidně možné, že nelze definovat nic jako absolutní orientaci (v rámci souřadného systému, že jsou prostě jen dvě a jednu si musíme vybrat.

Offline

 

#6 22. 01. 2024 23:33

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ laszky:
Ale nejspíš je to tak, že jde jen zorientovat vůči sobě plocha a křivka která ji ohraničuje.

Offline

 

#7 22. 01. 2024 23:57 — Editoval Eratosthenes (23. 01. 2024 01:46)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ TheFencer:

Ahoj,

ještě jinak: křivka, přes kterou se má integrovat, je jednotková kružnice v rovině s normálou (1;1;1). Takže vezmeš jednotkovou kružnici v rovině xy a otočíš ji do roviny s normálou (1;1;1). Rotaci složíš z rotace o úhel alfa kolem osy x a rotace o úhel beta kolem z. Dostaneš přímo parametrické rovnice kružnice, přes kterou máš integrovat:

[mathjax]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta & 0 \\ \sin\beta & \cos\beta & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \\ 0 \end{pmatrix}[/mathjax]


Potřebné hodnoty goniometrických funkcí se snadno odečtou z obrázku:

https://i.ibb.co/TrrtKGT/Otoc-Kruznici.jpg

K orientaci: orientaci křivky je možné definovat buď vzhedem k parametrizaci (zde parametrizace zadaná není) anebo vzhledem k oblasti - ani ta zde zadaná není, takže striktně vzato je zadání nekorektní. Orientace jsou ale jenom dvě a při změně orientace se v tomto případě bude výsledek lišit jenom znaménkem.

PS: Uvědomil jsem si, že v rovině xy je to integrál po jednotkové kružnici, takže podle Greenovy věty by to měl být obsah jednotkového kruhu. Jakékoliv otáčení roviny kružnice by na výsledku nemělo nic změnit. Ale poněkud se mi již klíží zraky, tak se možná pletu.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 27. 01. 2024 22:00 — Editoval Brano (27. 01. 2024 22:25)

Brano
Příspěvky: 2653
Reputace:   230 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

Ja len formálne spíšem čo tu bolo povedané v jazyku 1-foriem a 2-foriem.

Nech [mathjax]D[/mathjax] je plocha daná [mathjax]x^2+y^2+z^2\le 1[/mathjax], [mathjax]x+y+z=0[/mathjax] potom jej hranica je [mathjax]\partial D=C[/mathjax] zo zadania.
Stokes hovorí:

[mathjax]\int_{\partial D} ydx+zdy+xdz = \int_{D} d(ydx+zdy+xdz)=\int_{D} dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz=(*)=[/mathjax]

[mathjax]=\int_{D} -dy\wedge dz-dz\wedge dx-dx\wedge dy= \int_{D}-dS_x-dS_y-dS_z= \int_{D} (-1,-1,-1)\cdot \vec{dS}=[/mathjax]

Normálový vektor plochy [mathjax]D[/mathjax] je [mathjax](1,1,1)[/mathjax] a jednotkový je teda [mathjax]\pm\frac{1}{\sqrt 3}(1,1,1)[/mathjax] kde znamienko je dané orientáciou, ktorá ako bolo povedané je zadaná nekorektne, ale autor asi myslel tú ktorá povedie na plus.

[mathjax]= \int_{D} (-1,-1,-1)\cdot \frac{1}{\sqrt 3}(1,1,1) dS=-\sqrt{3}\int_{D} dS=-\sqrt{3}S(D)=-\sqrt{3}\pi[/mathjax]


Alternatívny návrh bol od [mathjax](*)[/mathjax] pokračovať redukciou rozmeru .. [mathjax]z=-x-y[/mathjax] a teda [mathjax]2x^2+2y^2+2xy\le 1[/mathjax] je plocha [mathjax]D'[/mathjax] - v súlade s predchádzajúcou voľbou orientácie, je orientovaná kladne v rovine [mathjax]xy[/mathjax]. Nie je to presne to čo hovoril ↑ laszky:, ale zachytáva to ducha jeho postupu.

[mathjax]=\int_{D'}dy\wedge dx -(dx+dy)\wedge dy -dx\wedge (dx+dy)=\int_{D'}-3dx\wedge dy[/mathjax]

t.j. -3 krát obsah elipsy [mathjax]D'[/mathjax] ktorú si môžeme upraviť transformáciou [mathjax]x=u-v, y=u+v[/mathjax] (nemení orientáciu) .. [mathjax]6u^2+2v^2\le 1[/mathjax]

[mathjax]\int_{D'}-3dx\wedge dy = \int_{D'} -3(du-dv)\wedge (du+dv)=\int_{D'}-6 du\wedge dv = -6S(D')=[/mathjax]

obsah elipsy by sme mohli počítať integrálom, rovnica v súradniciach [mathjax]u,v[/mathjax] sa dobre parametrizuje, alebo si spomenieme na vzorček ([mathjax]\pi ab[/mathjax]) a máme

[mathjax]=-6\pi\sqrt{1/6}\sqrt{1/2}=-\sqrt{3}\pi[/mathjax]


Prvý postup je výpočtovo ľahší ako ten druhý, ale konceptuálne je asi náročnejší, lebo vyžaduje plošný integrál I. druhu, ktorý je podľa mňa vo formách paradoxne náročnejší ako ten II. druhu.

Offline

 

#9 28. 01. 2024 00:02 — Editoval Eratosthenes (28. 01. 2024 00:27)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ TheFencer:

Když vidim, jakou si s tím  ↑ Brano: dal práci a já jsem udělal tu blbost, že jsem zmínil přímý výpočet, dal jsem si taky do těla a dokončil jsem, co jsem začal zde ↑ Eratosthenes: (je to celkem masakr a to jsem toho při roznásobování dost vynechal :-)

https://i.ibb.co/f1b2CXm/Krivkovy-integral.png

K mojí poslední poznámce zde ↑ Eratosthenes:

===========================
Uvědomil jsem si, že v rovině xy je to integrál po jednotkové kružnici, takže podle Greenovy věty by to měl být obsah jednotkového kruhu. Jakékoliv otáčení roviny kružnice by na výsledku nemělo nic změnit. Ale poněkud se mi již klíží zraky, tak se možná pletu.
===========================

Mé klížíci se zraky přehlédly, že norma normálového vektoru roviny, ve které se integruje, není jedna, ale sqrt(3), i když to v obrázku mám :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#10 28. 01. 2024 01:18

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ Brano:
Tak to jsem rád, že mi to vyšlo taky tak.

Offline

 

#11 28. 01. 2024 01:19

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ Eratosthenes:
S tvojí myšlenkou, že natáčení roviny kružnice (vůči vektorovému poli) na výsledku nic nezmění, teda úplně nesouhlasím.

Offline

 

#12 28. 01. 2024 11:11

Brano
Příspěvky: 2653
Reputace:   230 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ MichalAld:
ak tomu spravne rozumiem, tak on ju natocil, parametrizoval a natocil naspat

Offline

 

#13 28. 01. 2024 11:44 — Editoval Eratosthenes (28. 01. 2024 11:59)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ Brano:

Ahoj,

vzal jsem parametrické rovnice jednotkové kružnice v rovině z=0, tj. (cos t; sin t; 0) a otočil jsem je do roviny x+y+z=0. Ta rotace je složená ze dvou rotací (kolem os x;z), proto součin dvou matic krát vektor rovnic kružnice. Tím jsem získal parametrické rovnice otočené kružnice, přes kterou jsem integroval. Prostě otrocky podle zadání. Zpět jsem nic neotáčel.

Ale napadlo mě, že jsem mohl naopak otočit vektor (1;1;1) do směru osy z a integrovat přes kružnici v rovině z=0, tj.  (cos t; sin t; 0):

[mathjax]\int_{C}^{} (y;z;x)(dx;dy;dz) = \sqrt 3 \int_{0}^{2\pi} (\sin t; 0;\cos t)(- \sin t;\cos t;0)dt=-\sqrt 3 \int_{0}^{2\pi}\sin^2 dt =[/mathjax]

[mathjax]= -\sqrt 3 \int_{0}^{2\pi} {{1-\cos 2t}\over {2}} dt=-\sqrt 3[{t \over 2} -{{\sin 2t} \over {4}}]_0^{2\pi}=-\sqrt 3 \pi[/mathjax]


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#14 28. 01. 2024 11:49

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Křivkový a plošný integrál ve 3D

↑ MichalAld:

S tou kružnici musíš samozřejmě otáčet i to pole - viz na obrázku  ↑ Eratosthenes: červený a modrý vektor (modrou otočenou kružnici už jsem tam nepatlal).


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson