Matematické Fórum

↑↑ check_drummer:

No, je to pár řádků za definicí pro [mathjax]a\in \mathbb{R}[/mathjax]

Už cca před 60-ti lety v učebnici "Přehled užité matematiky" od  Rektorys a kol. je tato defince.
Odmocniny z reálných čísel.
Definice 1.
Nechť a>0 je reálné číslo, n přirozené číslo. Pak existuje právě jedno k l a d n é  r e á l n é  č í s l o  x pro něž [mathjax]x^{n}=a[/mathjax]. Číslo x se nazývá n-tá odmocnina z čísla a.
(Označení [mathjax]\sqrt[n]{a}[/mathjax]) Místo [mathjax]\sqrt[2]{a}[/mathjax] se píše [mathjax]\sqrt{a}[/mathjax]
Definice 2.
Pro a=0 se definuje [mathjax]\sqrt[n]{0}=0[/mathjax].
Definice 3.
Pro a<0 a pro liché n se definuje [mathjax]\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}[/mathjax] (neboť [mathjax]-\sqrt[n]{-a}[/mathjax] je jediné reálné číslo, jehož n-tá mocnina je a)

Tedy je vidět, že záleží na definici!!!

Pozn. To jenom, abyste se nemuseli hádat.

Zdravím,

[mathjax] f(x) =x^3; x\in \mathbb{R}; f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x},x\in \mathbb{R} [/mathjax] jsou liché funkce.

Pro liché funkce obecně platí [mathjax]f(x)=-f(-x)[/mathjax]

Platí tedy [mathjax]\sqrt[3]{x}=-\sqrt[3]{-x}[/mathjax].
Aplikujeme jako první krok při výpočtech se záporným argumentem, např. [mathjax]\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}[/mathjax].
To je celé.

↑ check_drummer:

Dovolím si ještě upřesňující poznámku: To prosím není definice, to je vlastnost Tady asi bude zdroj nedorozumění.

Pokud definujeme třetí odmocninu jako inverzní funkci ke třetí mocnině,  prostě musí platit [mathjax]\sqrt[3]{x}=-\sqrt[3]{-x}[/mathjax].
Třetí mocnina je lichá funkce, její inverzní funkce musí být taky lichá.
Když to při úpravách nevezmu v úvahu, snadno zkonstruuji blbě spočítaný protipříklad.

P.S. Myslím, že na středoškolské úrovni se dá názorně (ne zcela korektně) začít s  inverzními funkcemi přes jejich grafy.
"Přehodíme osy x,y", "překlopíme graf funkce podle osy prvního kvadrantu". Když dostaneme pro [mathjax]x[/mathjax] více hodnot [mathjax]y[/mathjax], musíme s tím něco udělat...

↑ check_drummer:

Opačné implikace se mi zdá kostrbatější. Nejspíš bude vyžadovat taky nějaký protivný důkaz.
Raději Vám budu věřit, že platí i ona:-)

↑ check_drummer:

Ta podle mě plyne z toho, že je třetí mocnina lichá funkce a že pro kladná x je odmocnina inverzní k mocnině.

Obávám se, že důkaz opačné implikace by měl k inverzní funkci dojít, ne ji předpokládat. Asi nějak takto:

Definujme funkci  [mathjax]f:\mathbb{R}\text{  } ->\text{  }\mathbb{R}[/mathjax] předpisem:
Pro [mathjax]x>0[/mathjax] platí [mathjax]log(x)=3*log(f(x))[/mathjax]
Pro [mathjax]x=0[/mathjax] je [mathjax]f(x)=0[/mathjax]
Pro [mathjax]x<0[/mathjax] je [mathjax]f(x)=-f(-x)[/mathjax]
Funkci [mathjax]f[/mathjax] budeme nazývat "třetí odmocnina z [mathjax]x[/mathjax]" a zapisovat symbolem [mathjax]\sqrt[3]{x}[/mathjax] pro všechna [mathjax]x\in \mathbb{R}[/mathjax]

Dokážeme, že  inverzní funkce k funkci [mathjax]f[/mathjax] je funkce  [mathjax]g:\mathbb{R}\text{  } ->\text{  }\mathbb{R}[/mathjax];  [mathjax]g(x)=x^{3}[/mathjax]

(fuj:-)

↑ check_drummer:

To ne, ty přece víš, že lichá mocnina inevrzní funkci má - a jen chceš dokázat, že ta inverzní funkce je rovna tomu výrazu, kterým definuješ lichou mocninu pro záporná čísla.

Jasně. Proto jsem zkusil jít ještě o krok zpět - začít na zelené louce.

1. Nadefinuju si jakýsi funkční předpis pro kladná čísla.

2. Ten mi říká
a) jak se spočítá funkční hodnota:
vezmi kladné [mathjax]x[/mathjax] --> zlogarimuj --> poděl třema --> odlogaritmuj --> dostaneš [mathjax]y[/mathjax]
b) že pro kladné [mathjax]x[/mathjax] bude inverzní funkcí třetí mocnina:
[mathjax]log(x)=3*log(f(x))[/mathjax] -->[mathjax]x=f(x)^{3}[/mathjax] --> [mathjax]x=y^{3}[/mathjax] --> inverzní funkce je [mathjax]y=x^{3}[/mathjax]

3. Definuju funkční předpis i pro zbytek [mathjax] \mathbb{R}[/mathjax] (jako lichou funkci a [mathjax]f(0)=0[/mathjax]).

4. Z toho plyne, že i na zbytku [mathjax] \mathbb{R}[/mathjax] bude inverzní funkcí třetí mocnina.

5. Inverzní funkce k inverzní funkci je původní funkce.

6. Nikdo nemůže ani pípnout:-) a eště vím, jak spočítat [mathjax]\sqrt[3]{x}[/mathjax]

↑ Richard Tuček:
Vtom co píšeš problém není.
Ono totiž [mathjax]\sqrt[v]{x.y}=\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y} [/mathjax] pllatí pouze pro [mathjax]x,y>0, [/mathjax] n přirozené.

↑ Eratosthenes:
Pane kolego, zadání úlohy ovšem znělo, že se jedná o reálná čísla.

↑ Honzc:

reagoval jsem pouze na poznámku ↑ Honzc:, kterí se týkala příspěvku ↑ Richard Tuček: o komplexních číslech.