Matematické Fórum

↑↑ Eratosthenes:
Inverzní funkce a praviidla pro počítání jsou dvě odlišné věci. Třetí odmocnina být inverzní může a přesto pro ní ta pravidla nemusí platit...

↑↑ misaH:

Všechny tyto zhůvěřilosti a hádky existují jenom proto, že je někdo líný místo

$f(x)=x^3;x\in \mathbb{R};f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$

napsat

$f(x)=x^3;x\in \mathbb{R};f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\iff x\ge 0;-\sqrt[3]{-x}\iff x<0$.

Je to jenom dvanáct znaků navíc a byl by v celé reálné analýze klid. Někomu holt stojí za to místo dvanácti  znaků posat tuny papíru a megabyty na discích tím, co pro které základy platí a co neplatí, vysvětlováním nejrůznějších nejasností a zmatků a jasno stejně nikdy nebude.

Já se neperu. Vyhrál jsem samozřejmě já :-) Pokud si někdo myslí něco jiného, ať si to klidně myslí dál. Já nikomu jeho názor neberu.

Tím bych to asi uzavřel

Takže problém není v tom zda lze definovat lichou odmocninu ze záporného čísla, ale jak ji vhodně definovat - buď pomocí inverzní funkce nebo pomocí odmocniny z kladného čísla. Ale to že ji definujeme pomocí odmocniny z kladného čísla ještě neznamená, že lichá odmocnina ze záporného čísla neexistuje. Ony ty dvě definice jsou totiž ekvivalentní, jen každá bude vhodná pro jiné úvahy.

Mně to jako hádání nepřipadá, ale asi máme každý jinou definici hádání. :-)

↑ osman:
Ano, obě definice jsou ekvivalentní.

↑ osman:
Přesně tak, a proto jsou obě tvrzení ekvivalentní - když třetí odmocninu definuješ jako inverzní funkci, platí ta rovnost, když ji definuješ jako tu rovnost, platí, že je to inverzní funkce....

osman napsal(a):

↑ check_drummer:

Opačné implikace se mi zdá kostrbatější. Nejspíš bude vyžadovat taky nějaký protivný důkaz.
Raději Vám budu věřit, že platí i ona:-)

Ta podle mě plyne z toho, že je třetí mocnina lichá funkce a že pro kladná x je odmocnina inverzní k mocnině.

osman napsal(a):

↑ check_drummer:

Ta podle mě plyne z toho, že je třetí mocnina lichá funkce a že pro kladná x je odmocnina inverzní k mocnině.

Obávám se, že důkaz opačné implikace by měl k inverzní funkci dojít, ne ji předpokládat.

To ne, ty přece víš, že lichá mocnina inevrzní funkci má - a jen chceš dokázat, že ta inverzní funkce je rovna tomu výrazu, kterým definuješ lichou mocninu pro záporná čísla.

↑↑ Eratosthenes:
Podobná záhada  1=odm(1)=odm((-1)(-1))=i*i=-1
Problém je v tom, že v komplexním oboru je n-tá odmocnina n-značná.
Také v komplexním oboru není úplně totéž x^(1/3)   a     x^(2/6)     tím jsme rozšířili sortiment.
třetí odmocnina je trojznačná, ale šestá odmocnina je šestiznačná.

↑ Honzc:

Problém není v tom, co píšeš. Pravdu má kolega ↑ Richard Tuček:. To, co píšeš  ty, totiž platí jen pro reálná čísla. Zde se jedná o čísla komplexní, kde je podmínka $x;y>0$ irelevantní, takže je irelevantní celý tvůj "argument". Těleso komplexních čísel nelze uspořádat, takže jakékoliv tvrzení, že nějaké komplexní číslo je větší než jiné, je nesmysl. To se samozřejmě týka zápisu x>0, protože i nula je zde číslem  komplexním. Rovnost

$\sqrt{1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}$

je v komplexním oboru naprosto OK, je to jenom (poněkud netradičně zapsaná) rovnost

$\{i;-i\}=\{i;-i\}$

Špatně je tam rovnost předposlední 

$\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=i\cdot i$

důsledek to masově rozšířeného bludu

$i=\sqrt{-1}$

což samozřejmě není pravda.

Správně je 

$i^2=-1$

mimochodem další příklad toho, že odmocnina není inveze k mocnině (pokud to tak ve speciálních případech a docela násilím nenadefinujeme).

Zápisy  $a^{\frac{m}{n}}$ nelze definovat ani pro záporná reálná, natož pro komplexní čísla.

↑ Eratosthenes:
Ovšem když pracuješ s komplexními čísly "a+ib", tak jako i neuvažuješ množinu čísel i, jejichž čtverec je -1, ale jen jedno konkrétní i.

↑ check_drummer:

i je vždy jen jedno konkrétní číslo. Dvě hodnoty nemůže mít.

Rovnost

$i^2=-1$

má na každé straně pouze jedno konkrétní číslo. Vlevo i, vpravo -1. Podobně jako 4^2=16.

Rovnost

$\sqrt{-1}=...$

má vlevo čísla dvě. Proto na pravé straně musí být taky čísla dvě.

$\sqrt{-1}=\pm i$

Podobně jako

$\pm \sqrt{16}=\pm 4$