Matematické Fórum

Základní fyzikální zákon pro částici v kvantově-mechanickém světě je

[mathjax]\stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

V kvantovém světě je to něco jako Newtonův zákon v tom klasickém světě. H je operátor energie (tzv. Hamiltonián), a [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] je stav systému. Je to trochu podobné variačním formulacím klasických fyzikálních zákonů.

Akorát že kvantová mechanika je poněkud více vzdálená tomu skutečnému světu který popisuje. Takže kromě toho, že musíme nalézt výraz pro energii systému, který popisujeme, musíme také vymyslet, jak budeme popisovat ten stav. Stav je něco jako vektor, a abychom mohli vyjádřit vektor, potřebujeme k tomu tzv. bázi. Stejně tak pro vyjádření kvantového stavu potřebujeme bázové stavy. Stejně jako bázové vektory.

No a o tom je dnes taky velká část kvantové mechaniky - nalézt vhodné bázové stavy pro popis systému, který nás zajímá. A než přistoupíme k popisu volné (či dokonce vázané) částice, ukážeme si to na pár jednodušších příkladech. A nejjednodušší co lze vymyslet je kvantový systém se dvěma stavy. Třeba si je můžeme označit plus a minus. Takže celkový stav systému je

[mathjax]|\varphi \rangle  = c_1 |+\rangle + c_2|-\rangle[/mathjax]

To zapisování stavů pomocí symbolů |> je tzv. braketová symbolika (od anglického bracket - závorka). Má to svůj význam, který si za chvíli ukážeme. Čísla C1 a C2 jsou obecně komplexní čísla, tedy mají svoji velikost a fázi. Plus ještě musí platit, že součet druhých mocnin jejich velikostí je jednička.

No a co takovýto stav tedy představuje ve skutečném světě? Abychom to pochopili, musíme začít úplně tím základním - to, co si částice dělají, když se na ně zrovna "nedíváme" NELZE MATEMATICKY POPSAT. Částice se chovají natolik extravagantně, že nejspíš nelze vymyslet matematický (ani žádný jiný) popis coho, co přesně dělají. Na to musela fyzika rezignovat. Namísto toho dokáže předpovídat pravděpodobnost toho co "uvidíme", když se zrovna "podíváme". Takže fyzikální předpověď kvantové mechaniky (jakákoliv) je jen pravděpodobnost. A výslede měření je obecně náhodný a my jen umíme předpovídat pravděpodobnost.

A teď, když máme tedy náš stav

[mathjax]|\varphi \rangle  = c_1 |+\rangle + c_2|-\rangle[/mathjax]


a ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že když se "podíváme", tak "uvidíme" stav

[mathjax]|\eta\rangle = c_3 |+\rangle + c_4|-\rangle[/mathjax]


Tak odpověď je, že nejdřív si stav [mathjax]|\eta \rangle [/mathjax] máme napsat jako

[mathjax]\langle\eta| = c_3\langle+| + c_4 \langle-|[/mathjax]

a odpověď sama je

[mathjax]\langle\eta|\varphi\rangle[/mathjax]

což je

[mathjax] \langle \eta|\varphi \rangle = ( c_3\langle +| + c_4 \langle -|)( c_1 |+ \rangle + c_2|- \rangle)=c_3c_1\langle +|+ \rangle + c_3c_2\langle +|- \rangle + c_4c_1\langle -|+ \rangle + c_4c_2\langle -|- \rangle[/mathjax]

A protože jsme chytří, a zvolili jsme si na začátku své bázové stavy tak, aby byly ortogonální, nebo ještě lépe ortonormální, tedy že

<+|+> = <-|-> = 1 a <-|+> = <+|-> = 0, tak je výsledek

[mathjax]\langle \eta|\varphi \rangle =c_1c_3 +  c_2c_4=c[/mathjax]

Čísla c1, c2, c3, c4 se nazývají AMPLITUDY PRAVDĚPODOBNOSTI a jsou to komplexní čísla. Číslo c je pak pravděpodobnost, že takový děj či přechod nastane.

Celá kvantovka je vlastně takto postavená. Takže pokud dokážeme pro náš problém najít vhodné bázové stavy, máme polovinu práce udělanou. Pak ještě musíme najít vhodný operátor energie.

Ještě jsem chěl ukázat jednu věc - pravděpodobnost, že stav [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] bude stavem [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] by měla být rovna jedné. Z toho tedy plyne normalizační podmínka na ty konstanty, co nám stav popisují.

[mathjax]\langle \varphi|\varphi \rangle= c_1c_1 + c_2c_2 = 1[/mathjax]

(S největší pravděpodobností jsem to trochu zjednodušil a není to úplně správně. Je možné že to ještě v budoucnu upravím. Až vymyslím jak to udělat, aby se zápisy příliš nezkomplikovaly. Ale není to nic principiálního, souvisí to s tou fází těch čísel co popisují stavy.)

Dvojstavový systém může být třeba částice se spinem 1/2, jako je např. elektron. Stav |+> znamená že její spin míří nahoru, stav |-> znamená že spin míří dolů. Tohle nám stačí k tomu, abychom dokázali vyrobit spin mířící libovolným směrem. Kdyby to někoho zajímalo, můžu ukázat jak se to dělá - s pomocí těch komplexních čísel. S reálnými čísly by to pochopitelně nešlo.

PS: je to seriál na pokračování, nevím, jak dlouho bude trvat než se dostanu až k částici v potenciálové jámě.

No a když už máme jasno v tom, co jsou to bázové vektory a jak pomocí nich popisujeme stav kvantového systému, můžeme si ukázat i nějaký jednoduchý případ toho, jak se takový systém chová, jak se vyvíjí v čase. A není nic jednoduššího, než už zmíněný kvantový systém se dvěma stavy. Teď si je označíme třeba [mathjax]|1 \rangle[/mathjax] a [mathjax]|2 \rangle[/mathjax]. Předtím jsme je měli označené jako + a -, nevím, jestli to bylo dobře, už se mi to nechce zpětně měnit.

Vlastně můžeme začít i systémem co má jen jeden stav, tedy [mathjax]c|1 \rangle[/mathjax]. Tam toho moc nevymyslíme, operátor energie [mathjax]\stackrel{\text{^}}{H}[/mathjax] bude prostě [mathjax]\stackrel{\text{^}}{H} = E[/mathjax]. Takže chování našeho systému popisuje rovnice

[mathjax]\stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

což je v našem případě

[mathjax]E \cdot C_{(t)}  \cdot|1 \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}C_{(t)} \cdot |1 \rangle[/mathjax]

což tedy znamená vyřešit rovnici

[mathjax]E \cdot C_{(t)}  = i \hbar \frac{d}{dt}C_{(t)} [/mathjax]

Funkce C(t) popisuje, jak se mění souřadnice vektoru který popisuje stav systému.

Předpokládám, že všichni vědí, jak se řeší lineární diferenciální rovnice, a kdo to nevíl, tak určitě ví aspoň to, že když výsledek uhádneme, není těžké ověřit, že je správný, takže můžeme rovnou uhádnout, že bude ve tvaru

[mathjax]C_{(t)}  = C e^{i\omega t} [/mathjax]

a dosazení pak už jen zjistíme ten úhlový kmitočet, takže řešení je

[mathjax]C_{(t)}  = C e^{-i\frac{E}{\hbar} t} [/mathjax]

s tím, že má li řešení představovat pravděpodobnost, musí být C = 1, takže nakonec máme

[mathjax]C_{(t)}  =  e^{-i\frac{E}{\hbar} t} [/mathjax]


Takže jsme úspěšně vyřešili kvantový popis nejjednoduššího systému jaký lze vymyslet. A protože systém má jen jeden stav, nemůže dělat nic jiného než NEDĚLAT NIC. A to je to, co bychom měli na začátek pochopit, že "nedělat nic" se v kvantové mechanice popisuje tak, že se mění jen fáze kvantového stavu. Jako v našem případě. Jak rychle? To závisí na energii našeho stavu. Jenže energii nelze měřit, fyzikální důsledky má jen změna energie. Stejně tak nelze měřit frekvenci fáze naší "vlnové funkce" protože fáze nemá fyzikální význam, neexistuje ve skutečném světě. A za všechny měřitelné jevy mohou zpravidla jen rozdíly fází.

No a pro budoucí případy, které už tak jednoduché nebudou, pořád platí, že pokud máme stav, kde se v čase mění jen fáze, je to stav s přesnou (taky můžeme říkat ostrou) hodnotou energie. Takový stav se v čase nemění, a říkáme mu kvůli tomu "stacionární stav". A je extrémně výhodné tyhle stacionární stavy používat jako bázové stavy. Ale to si ukážeme později.

A jak se teda počítá [mathjax]\large e^X[/mathjax], kde X je matice?

Není to zas tak velká záhada, protože funkci [mathjax]\large e^X[/mathjax] umíme rozvinout do mocninné řady

[mathjax]\large e^X = \frac{X^0}{0!} + \frac{X^1}{1!} + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + [/mathjax]

no a celočíselné mocniny jsou jen násobení, [mathjax]\large X^3 = X \cdot X \cdot X[/mathjax], a násobit matice umíme.


Akorát že tohle nám zas tak úplně nepomůže k tomu jak najít analytické řešení. K tomu potřebujeme ještě jeden trik, a to jsou vlastní čísla a vlastní vektory matice.

Vlastní vektor nějaké matice je vektor, který když vynásobíme tou maticí, tak je to stejné jako když bychom jej vynásobili jen nějakým číslem. Tedy (v tomhle příspěvku jsem matici označil jako X, tak se toho budu držet):

[mathjax]X |v \rangle = \lambda |v \rangle[/mathjax]

Vektor v je vlastním vektorem té matice, a lambda je vlastním číslem. Ve skutečnosti nejsou vlastní vektory zas až tak důležité, mnohem důležitější jsou ta vlastní čísla. A pokud ta vlastní čísla dokážeme najít, můžeme matici X vyjádřit ve tvaru

[mathjax]X = P^{-1} \Lambda P[/mathjax]

kde [mathjax]\Lambda[/mathjax] je matice, která má na diagonále vlastní čísla [mathjax]\lambda[/mathjax] původní matice X a jinde nuly. Taková matice se velmi jednoduše umocňuje, protože když ji umocníme na n-tou, je to stejné jako když každé z vlastních čísel umocníme na n-tou.

A protože [mathjax]P^{-1} \cdot P = 1[/mathjax], je nyní už jasné, jak budeme umocňovat matici X:

[mathjax]X^2 = P^{-1} \Lambda  P \cdot P^{-1} \Lambda  P = P^{-1} \Lambda^2 P[/mathjax]

a obdobně

[mathjax]X^3 =  P^{-1} \Lambda^3 P[/mathjax]

nebo rovnou

[mathjax]X^n =  P^{-1} \Lambda^n P[/mathjax]



Takže po dosazení do mocninné řady nakonec dostaneme, že

[mathjax]e^X =  P^{-1} e^\Lambda P[/mathjax]   a   [mathjax]e^\Lambda  = diag [e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, ... e^{\lambda_n}][/mathjax]

Takže je vidět, že vlastní čísla matice jsou velmi důležitá, a pokud je najdeme, dokážeme snadno spočítat i výraz [mathjax]e^X[/mathjax].

Pozn:
Uvedený postup nemusí fungovat, když budou některá vlastní čísla stejná, a také existují matice, které nejsou tzv. diagonalizovatelné, a na tento tvar je převést nelze. Ale tím se tady nemusíme zabývat.

A pokud se někomu nelíbí ten výpočet [mathjax]e^X[/mathjax], může si ten proces s maticí vlastních čísel udělat hned na začátku, a dostane tak N diferenciálních rovnic které nejsou navzájem provázány, a lze je vyřešit každou jednotlivě. Výsledek bude úplně stejný.

No, chtěl jsem ještě ukázat, že když umíme vyřešit systém s N stavy, lze to rozšířit i na nekonečné množství stavů, a pak už z toho lze získat i řešení představující pohyb částice, ale už to si nebudu dělat, je toho víc, než se na první pohled zdálo. Takže přikročíme rovnou ke spojitému případu, kdy má částice k dispozici celý prostor - budeme tedy uvažovat jen jednu dimenzi, pohyb částice podél nějaké osy.

Základní kvantový zákon pohybu už známe, ten je pořád stejný

[mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]


ale musíme vyřešit dvě věci:

1) co použijeme jako bázové stavy pro částici ve volném prostoru

2) a samozřejmě - jak bude v této reprezentaci vypadat operátor energie.


První co nás napadne, když jde o polohu a pohyb částice, že bázový stav by mohl vyjadřovat, že se částice nachází na nějaké poloze x. Třeba x = 20.17, v námi zvoleném souřadném systému. Můžeme to klidně označit jako stav [mathjax]| x = 20.17 \rangle[/mathjax]. Jenže 20.17 není jediná poloha, kde se může naše částice nacházet, klidně může být třeba na poloze 125.3, takže další stav bude [mathjax]| x = 125.3 \rangle[/mathjax]

No, trochu to zkrátím, potřebujeme tolik stavů, kolik je na ose x možných poloh, a těch je nekonečné množství. A dokonce nespočetné množství. Což nám trochu komplikuje situaci, protože náš stav systému bude vyjádřený v bázi, která má nespočetné množstsví bázových stavů. Nevystačíme si tedy jen s čísly Cn, jak jsme to dělali dříve, musíme vzít celou funkci C(x). A ta už tím pádem nebude určovat pravděpodobnost, ale jen hustotu pravděpodobnosti.

A u systémů s konečným počtem stavů byly tyhle konstanty také závislé na čase, což teď budou muset taky, takže nakonec máme funkci C(x, t), oproti dřívějším několika funkcím C1(t), C2(t), ... Cn(t). A namísto sčítání budeme mít integrály, a když budeme chtít vyjádřit, že je částice přesně na poloze x = 20.17, budeme na to muset použít Diracovu delta-funkci (také se říká Diracůc impulz).

A pak ještě musíme najít operátor energie. To už naštěstí udělali chytří lidé za nás, takže když víme, že klasická volná částice má kinetickou energii [mathjax]E = \frac{p^2}{2m} [/mathjax], bude kvantový operátor energie

[mathjax]\Large \stackrel{\text{^}}{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}[/mathjax]

I když existuje postup, jak z klasických vztahů pro polohu, rychlost, energii a hybnost získat jejich kvantové ekvivalenty (operátory), nefunguje to úplně vždycky, a musíme to brát jako nový fyzikální zákon, který je nutné ověřovat experimenty.

Takže volnou částici pohybující se podél osy by měl popisovat tento vztah (říká se mu Schrodingerrova rovnice):

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} C_{(x,t)} = i \hbar \frac{d}{dt} C_{(x,t)}[/mathjax]

Pořád platí, že funkce C(x,t) jsou vlastně jen souřadnice stavového vektoru v našich bázových stavech |x> a sama nemá fyzikální význam. Fyzikální význam má jen ten skalární součin bra a ket-vektorů, "pasti" a stavu, [mathjax]\langle \eta|\varphi \rangle[/mathjax], což ve spojitém případě přejde na integrál:

[mathjax]\large \langle \eta|\varphi \rangle = \int \eta^*_{(x,t)}\cdot\varphi_{(x,t)}dx[/mathjax]

Je to pořád to samé, jen se to znatelně zkomplikovalo díky tomu, že bázových stavů máme nekonečný a nespočetný počet.

Jak ale popsat částici, která se má někde nacházet? Která bude alespoň trochu lokalizovaná? Aby byla aspoň u mne v kuchyni, a né úplně kdekoliv?

Nezbývá, než sečíst několik vln, o různých frekvencích (tedy energiích). Pokud chceme, aby byla částice opravdu "někde", musíme vytvořit tzv. vlnový balík. Ale to už tu ukazovat nebudu, je to na dalších x stránek. Kdo chce, může se kouknout třeba na wiki

Matematiku komplikuje to, že pokud chceme dostat balík, který je v prostoru ohraničený, musíme těch vln sečíst nekonečně mnoho, všechny vlny v nějakém rozsahu energií. Je to vlastně Fourierova transformace.

Takto je tedy nutno popsat částici, která se má někde nacházet, a přemísťovat se z místa na místo. Má li naproti tomu mít částice zcela přesně danou energii, nelze o jejím pohybu vůbec mluvit. Je prostě nějakým způsobem "rozplizlá" v celém prostoru.

Takový motivační příklad, abychom hned pochopili, kde se diskrétní hodnoty vlastních čísel berou je třeba rovnice

[mathjax]y'' + k^2y = 0[/mathjax]

s podmínkami [mathjax]y(0) = 0[/mathjax], [mathjax]y(L)=0[/mathjax]

Je to (už jsme na to několikrát narazili) rovnice netlumeného kmitání (či vln), řešení je

[mathjax]y = A \sin(kx) + B \cos(kx)[/mathjax]

(kdo nevěří, může si to ověřit dosazením).

Teď předpokládejme, že to vlnové číslo k není předem dané, že může být jakékoliv, jen když splní naše okrajové podmínky. Je jasné, že z podmínky y(0) = 0 plyne že člen obsahující cosinus musí být nulový. Jinak to splnit nelze. Člen obsahující sinus může být naproti tomu libovolný. Takže ten musíme určit tak, aby nám splnil podmínku na "druhé straně", v tom bodě L. Tedy

[mathjax]y(L) = A \sin(kL) = 0[/mathjax]

A my víme, že funkce sin(x) nabývá nulových hodnot jen pro [mathjax]x = 0, \pi, 2 \pi, 3\pi ... n\pi[/mathjax] takže vlnové číslo k může být jen

k = [mathjax]n\frac{\pi}{L}[/mathjax]

No a všechny ty diskrétní hodnoty energie u kvantových systémů, kde je částice vázána v potenciálové jámě jsou variacemi na tuhle myšlenku. Jen ty okrajové podmínky mohou být obecně jiné, zpravidla se tam objevuje požadavek, že vlnová funkce nesmí utíkat do nekonečna. Musí být, jak by řekli matematici, "integrovatelná s kvadrátem". Tedy že integrál druhé mocniny její absolutní hodnoty (po zahození fáze) musí být konečné číslo. Jinak by nemohla představovat pravděpodobnost.

A jak si za chvíli ukážeme, většina řešení má právě tendenci do nekonečna utíkat. A my z nich musíme vybrat jen těch pár, které naopak jdou v nekonečných vzdálenostech k nule.

Pardon, ze se vtiram, ale podle me efektivnejsi odpoved na danou otazku je, ze operator [mathjax]L f=-f''[/mathjax] (ktery se vyskytuje ve Schrodingerove rci) s okrajovymi podminkami [mathjax]f(0)=0[/mathjax], [mathjax]f(1)=0[/mathjax] ma diskretni spektrum (ve vsech prostorech, na kterych ten operator ma smysl). To je latka z ODR 1, pripadne lepsiho gymnazia.

↑ MichalAld:
Ok, me jenom zarazilo, kdyz jsem videl ty slohy, jestli mi neco zasadniho neuniklo. Takze jsem rad, ze ne:)

No spis nez obecne operatory jsem myslel rovnice jako [mathjax]f''+kf=0[/mathjax]... tu jsem uz na stredni urcite parkrat potkal a vim, ze resitelnost v zavislosti na k bylo taky celkem popularni tema

V poradku, muzes pokracovat :)

Takže máme naši rovnici

[mathjax]\huge (-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2) X(x) = E \cdot X(x)[/mathjax]

První krok je zbavit se všech těch konstant. Z fyzikálního hlediska to může znamenat taky to, že měříme v trochu jiných jednotkách než jsou běžné metry, kilogramy a sekundy. Z matematického hlediska to znamená zavést substituci

[mathjax]\large x = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x[/mathjax]

(matematici teď určitě zakroutí hlavou a namítnou, že by se měla použít jiná proměnná, ale mě se zase kroutí oči, když mám namísto x používat [mathjax]\xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x[/mathjax]

a pak ještě si pár věcí schováme do konstanty [mathjax]\lambda [/mathjax]

[mathjax]\large \lambda = \frac{2}{\hbar \omega}E[/mathjax]

je to tedy zase taková "bezrozměrná energie".

A pak tedy dostaneme rovnici

[mathjax]\huge \frac{d ^2 X_{(x)}}{dx^2} + (\lambda - x^2) X_{(x)} = 0[/mathjax]

nebo tedy

[mathjax]\huge X'' + (\lambda - x^2) X = 0[/mathjax]

Bohužel, ani oblíbená metoda uhádnout a vyzkoušet řešení nám tady úplně nepomůže. Tahle rovnice úplně analytické řešení nemá. No, první krok, co někdo uhádnul je zkoumat, jak se bude rovnice chovat pro velká x, tedy v nekonečných vdálenostech. Potom ve členu [mathjax](\lambda - x^2)[/mathjax] můžeme tu lambdu zanedbat, a zůstane nám jen

[mathjax]\huge X'' - x^2 X = 0[/mathjax]

Tahle rovnice už řešení má, a to

[mathjax]\huge X = Ae^{-\frac{x^2}{2}} + Be^{\frac{x^2}{2}}[/mathjax]

Ten druhý člen nám pro velká x roste k nekonečnu, což je přesně to co nechceme, takže si B položíme rovné 0, a ponecháme si jen ten první člen, který pro velká x klesá pěkně k nule. No a dalším krokem, co můžeme v rámci našeho hádání zkusit je předpokládat, že A není konstanta, ale nějaká funkce, která závisí taky na x. Tedy A = A(x). To už nás ke správnému řešení dovede, byť dosti strastiplnou cestou.

[mathjax]\huge X_{(x)} = A_{(x)}e^{-\frac{x^2}{2}}[/mathjax]

Teď teda pár kroků vynechám, takže mi musíte věřit, ale když si vyjádříme druhou derivaci funkce X(x), a dosadíme do původní rovnice, dostaneme nakonec po úpravách rovnici pro funkci A(x):

[mathjax]\huge \frac{d ^2 A_{(x)}}{dx^2} - 2x\frac{dA_{(x)}}{dx} + (\lambda - 1) A_{(x)} = 0[/mathjax]

Ta se sice taky nedá analyticky řešit, ale dá se najít její řešení ve tvaru mocninné řady. Pokud tedy předpokládáme, že funkci A(x) můžeme zapsat jako mocninou řadu, tedy

[mathjax]\huge A_{(x)} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a3x^3 .... a_nx^n[/mathjax]

můžeme tuto řadu po provedení první a druhé derivace dosadit do rovnice, a porovnat koeficienty u stejných mocnin. Úplně nevím, jestli se mi to sem chce psát, je to dost dlouhé a nezáživné... (když by to někoho moc zajímalo, tak to sem klidně napíšu) no a nakonec dostaneme pro koeficienty mocninné řady rekurentní vztah

[mathjax]\huge a_{k+2} = \frac{2k+1-\lambda}{(k+1)(k+2)}a_k[/mathjax]

první dva koeficienty si musíme zvolit, a0 a a1, a ostatní už pak spočítáme. Z koeficientu a0 počítáme ty sudé koeficienty, z a1 ty liché.

Tak jsme se nakonec dohrabali k dlouho očekávanému výsledku. V konstantě [mathjax]\lambda[/mathjax] je schovaná energie. A ta může nabývat jen určitých hodnot (při vhodné volbě jednotek je to prostě 1, 2, 3, 4...n) abychom dostali vlnovou funkci, která při velkých vzdálenostech od potenciálové jámy klesá k nule. Všechna ostatní řešení nám utíkají do nekonečna.

Takže ono diskrétní spektrum operátoru energie není vlastností samotné té diferenciální rovnice, ale je důsledkem té okrajové podmínky - že funkce musjí jít pro velká x k nule. Je to docela zvláštní, jak takováhle "blbina" nám zařídí diskrétní energetické hladiny.

No, svět se takto skutečně chová. U atomu vodíku je to trochu jinak, tam není potenciál úměrný [mathjax]x^2[/mathjax] ale [mathjax]1/x[/mathjax], a myslím, že to jsou jedny z mála potenciálů, kde to lze spočítat analyticky. U harmonického oscilátoru jsou od sebe hladiny všechny stejně daleko, u atomu to tak není.

Na anglické wiki lze najít jak vypadají ty vlnové funkce i spousta dalších věcí...

Za zmínku stojí ještě dvě věci - energie i toho nejnižšího stavu není nulová. Kvantová částice není nikdy úplně v klidu, dá li se to tak říct.
No a na obrázku z wiki je vidět, že existuje nenulová pravděpodobnost výskytu i tam, kde by být neměla, kde je potenciální energie větší než ta kinetická, kde je celková energie částice záporná. To je vysvětlení tzv. tunelového jevu ... kdyby to byla jen energetická bariéra, existuje malá, ale nenulová pravděpodobnost, že ji částice přeletí, i když její energie je nižší než energie toho valu.