Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 06. 2024 18:56

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Částice v potenciálové jámě

V soukromé konverzaci jsem dostal otázku proč má kvantově popsaná částice v potenciálové jámě povolené jen určité hodnoty energie (proč má diskrétní energetické spetktrum), tak se to tady pokusím trochu osvětlit. Protože v soukromých zprávách se moc nedají používat vzorce.

Pokud bude mít někdo jakýkoliv dotaz, klidně se ptejte.

Offline

 

#2 03. 06. 2024 19:49 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 00:17)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Základní fyzikální zákon pro částici v kvantově-mechanickém světě je

[mathjax]\stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

V kvantovém světě je to něco jako Newtonův zákon v tom klasickém světě. H je operátor energie (tzv. Hamiltonián), a [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] je stav systému. Je to trochu podobné variačním formulacím klasických fyzikálních zákonů.

Akorát že kvantová mechanika je poněkud více vzdálená tomu skutečnému světu který popisuje. Takže kromě toho, že musíme nalézt výraz pro energii systému, který popisujeme, musíme také vymyslet, jak budeme popisovat ten stav. Stav je něco jako vektor, a abychom mohli vyjádřit vektor, potřebujeme k tomu tzv. bázi. Stejně tak pro vyjádření kvantového stavu potřebujeme bázové stavy. Stejně jako bázové vektory.

No a o tom je dnes taky velká část kvantové mechaniky - nalézt vhodné bázové stavy pro popis systému, který nás zajímá. A než přistoupíme k popisu volné (či dokonce vázané) částice, ukážeme si to na pár jednodušších příkladech. A nejjednodušší co lze vymyslet je kvantový systém se dvěma stavy. Třeba si je můžeme označit plus a minus. Takže celkový stav systému je

[mathjax]|\varphi \rangle  = c_1 |+\rangle + c_2|-\rangle[/mathjax]

To zapisování stavů pomocí symbolů |> je tzv. braketová symbolika (od anglického bracket - závorka). Má to svůj význam, který si za chvíli ukážeme. Čísla C1 a C2 jsou obecně komplexní čísla, tedy mají svoji velikost a fázi. Plus ještě musí platit, že součet druhých mocnin jejich velikostí je jednička.

No a co takovýto stav tedy představuje ve skutečném světě? Abychom to pochopili, musíme začít úplně tím základním - to, co si částice dělají, když se na ně zrovna "nedíváme" NELZE MATEMATICKY POPSAT. Částice se chovají natolik extravagantně, že nejspíš nelze vymyslet matematický (ani žádný jiný) popis coho, co přesně dělají. Na to musela fyzika rezignovat. Namísto toho dokáže předpovídat pravděpodobnost toho co "uvidíme", když se zrovna "podíváme". Takže fyzikální předpověď kvantové mechaniky (jakákoliv) je jen pravděpodobnost. A výslede měření je obecně náhodný a my jen umíme předpovídat pravděpodobnost.

A teď, když máme tedy náš stav

[mathjax]|\varphi \rangle  = c_1 |+\rangle + c_2|-\rangle[/mathjax]


a ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že když se "podíváme", tak "uvidíme" stav

[mathjax]|\eta\rangle = c_3 |+\rangle + c_4|-\rangle[/mathjax]


Tak odpověď je, že nejdřív si stav [mathjax]|\eta \rangle [/mathjax] máme napsat jako

[mathjax]\langle\eta| = c_3\langle+| + c_4 \langle-|[/mathjax]

a odpověď sama je

[mathjax]\langle\eta|\varphi\rangle[/mathjax]

což je

[mathjax] \langle \eta|\varphi \rangle = ( c_3\langle +| + c_4 \langle -|)( c_1 |+ \rangle + c_2|- \rangle)=c_3c_1\langle +|+ \rangle + c_3c_2\langle +|- \rangle + c_4c_1\langle -|+ \rangle + c_4c_2\langle -|- \rangle[/mathjax]

A protože jsme chytří, a zvolili jsme si na začátku své bázové stavy tak, aby byly ortogonální, nebo ještě lépe ortonormální, tedy že

<+|+> = <-|-> = 1 a <-|+> = <+|-> = 0, tak je výsledek

[mathjax]\langle \eta|\varphi \rangle =c_1c_3 +  c_2c_4=c[/mathjax]

Čísla c1, c2, c3, c4 se nazývají AMPLITUDY PRAVDĚPODOBNOSTI a jsou to komplexní čísla. Číslo c je pak pravděpodobnost, že takový děj či přechod nastane.

Celá kvantovka je vlastně takto postavená. Takže pokud dokážeme pro náš problém najít vhodné bázové stavy, máme polovinu práce udělanou. Pak ještě musíme najít vhodný operátor energie.

Ještě jsem chěl ukázat jednu věc - pravděpodobnost, že stav [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] bude stavem [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] by měla být rovna jedné. Z toho tedy plyne normalizační podmínka na ty konstanty, co nám stav popisují.

[mathjax]\langle \varphi|\varphi \rangle= c_1c_1 + c_2c_2 = 1[/mathjax]

(S největší pravděpodobností jsem to trochu zjednodušil a není to úplně správně. Je možné že to ještě v budoucnu upravím. Až vymyslím jak to udělat, aby se zápisy příliš nezkomplikovaly. Ale není to nic principiálního, souvisí to s tou fází těch čísel co popisují stavy.)

Dvojstavový systém může být třeba částice se spinem 1/2, jako je např. elektron. Stav |+> znamená že její spin míří nahoru, stav |-> znamená že spin míří dolů. Tohle nám stačí k tomu, abychom dokázali vyrobit spin mířící libovolným směrem. Kdyby to někoho zajímalo, můžu ukázat jak se to dělá - s pomocí těch komplexních čísel. S reálnými čísly by to pochopitelně nešlo.

PS: je to seriál na pokračování, nevím, jak dlouho bude trvat než se dostanu až k částici v potenciálové jámě.

Offline

 

#3 03. 06. 2024 23:40 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 09:18)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Ještě k té braketové (neboli Diracově) symbolice.

Z matematického hlediska je symbol [mathjax]\langle \eta | \varphi \rangle[/mathjax] prostě skalárním součinem dvou vektorů. S tím, že souřadnice těch vektorů jsou obecně komplexní čísla. Nevím, jak se takový vektor (či vektorový prostor) v matematice přesně jmenuje. Možná nijak.

No a tu pravou část, [mathjax]| \varphi \rangle[/mathjax], označujeme jako ket-vektor, což je tedy normální vektor, tu levou část, [mathjax]\langle \eta |[/mathjax] jako bra-vektor, s tím, že jeho souřadnice musejí být komplexně sdružené (musejí mít otočenou fázi). Výsledek skalárního součinu je potom reálné číslo - které v kvantové mechanice představuje pravděpodobnost, že k takovému přechodu dojde.


No a v kvantové mechanice musí mít ty vektory popisující stav systému správnou velikost, protože celková pravděpodobnost musí být rovna jedné. I když se tu a tam setkáme s tím, že to normování prostě vynecháme, aby nám to věc nekomplikovalo. Ale správně, když budeme mít třeba stav popsaný s pomocí 3 bázových stavů, tak

[mathjax]|\varphi \rangle = c_1 |1 \rangle + c_2 |2 \rangle + c_3 |3 \rangle [/mathjax]

by mělo platit, že 

[mathjax]\langle \varphi|\varphi \rangle = 1[/mathjax]

tedy že

[mathjax]c_1 \cdot c_1^* + c_2 \cdot c_2^* + c_3 \cdot c_3^*  = |c_1|^2 + |c_2|^2 + |c_3|^2 = 1 [/mathjax]


Já mám ještě takovou soukromou interpretaci těch ket a bra-vektorů, a obecně měření v kvantové mechanice. Totiž - měření znamená, že "nalíčíme past", ať už na částici, nebo prostě na stav systému. Stav - to je ten ket-vektor (ten vpravo, ten normální vektor), no a past, to je ten druhý, bra-vektor. Past je zase jiný stav, není v tom rozdíl, jen musíme udělat to komplexní sdružení souřadnic.


Takže máme třeba stav [mathjax]|\varphi \rangle[/mathjax] a na něj "nalíčíme past" [mathjax]\langle \eta|[/mathjax] a ptáme se, s jakou pravděpodobností k tomu dojde. A odpověď je

[mathjax]p=\langle \eta|\varphi \rangle[/mathjax]

Tohle je jediná ověřitelná předpověď celého toho kvantového aparátu. A ověřitelná jen v přípdě, že ten experiment můžeme mnohokrát zopakovat. Protože je to jen pravděpodobnost. A nic ostatního vlastně není skutečné, nevíme, co kvantové systémy dělají "ve skutečnosti". Nelze to matematicky popsat. Nelze to vědět. Stvořitel měl poněkud zvrhlý smysl pro humor, když tvořil náš vesmír.

Offline

 

#4 03. 06. 2024 23:58 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 00:05)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

No a když už máme jasno v tom, co jsou to bázové vektory a jak pomocí nich popisujeme stav kvantového systému, můžeme si ukázat i nějaký jednoduchý případ toho, jak se takový systém chová, jak se vyvíjí v čase. A není nic jednoduššího, než už zmíněný kvantový systém se dvěma stavy. Teď si je označíme třeba [mathjax]|1 \rangle[/mathjax] a [mathjax]|2 \rangle[/mathjax]. Předtím jsme je měli označené jako + a -, nevím, jestli to bylo dobře, už se mi to nechce zpětně měnit.

Vlastně můžeme začít i systémem co má jen jeden stav, tedy [mathjax]c|1 \rangle[/mathjax]. Tam toho moc nevymyslíme, operátor energie [mathjax]\stackrel{\text{^}}{H}[/mathjax] bude prostě [mathjax]\stackrel{\text{^}}{H} = E[/mathjax]. Takže chování našeho systému popisuje rovnice

[mathjax]\stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

což je v našem případě

[mathjax]E \cdot C_{(t)}  \cdot|1 \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}C_{(t)} \cdot |1 \rangle[/mathjax]

což tedy znamená vyřešit rovnici

[mathjax]E \cdot C_{(t)}  = i \hbar \frac{d}{dt}C_{(t)} [/mathjax]

Funkce C(t) popisuje, jak se mění souřadnice vektoru který popisuje stav systému.

Předpokládám, že všichni vědí, jak se řeší lineární diferenciální rovnice, a kdo to nevíl, tak určitě ví aspoň to, že když výsledek uhádneme, není těžké ověřit, že je správný, takže můžeme rovnou uhádnout, že bude ve tvaru

[mathjax]C_{(t)}  = C e^{i\omega t} [/mathjax]

a dosazení pak už jen zjistíme ten úhlový kmitočet, takže řešení je

[mathjax]C_{(t)}  = C e^{-i\frac{E}{\hbar} t} [/mathjax]

s tím, že má li řešení představovat pravděpodobnost, musí být C = 1, takže nakonec máme

[mathjax]C_{(t)}  =  e^{-i\frac{E}{\hbar} t} [/mathjax]


Takže jsme úspěšně vyřešili kvantový popis nejjednoduššího systému jaký lze vymyslet. A protože systém má jen jeden stav, nemůže dělat nic jiného než NEDĚLAT NIC. A to je to, co bychom měli na začátek pochopit, že "nedělat nic" se v kvantové mechanice popisuje tak, že se mění jen fáze kvantového stavu. Jako v našem případě. Jak rychle? To závisí na energii našeho stavu. Jenže energii nelze měřit, fyzikální důsledky má jen změna energie. Stejně tak nelze měřit frekvenci fáze naší "vlnové funkce" protože fáze nemá fyzikální význam, neexistuje ve skutečném světě. A za všechny měřitelné jevy mohou zpravidla jen rozdíly fází.

No a pro budoucí případy, které už tak jednoduché nebudou, pořád platí, že pokud máme stav, kde se v čase mění jen fáze, je to stav s přesnou (taky můžeme říkat ostrou) hodnotou energie. Takový stav se v čase nemění, a říkáme mu kvůli tomu "stacionární stav". A je extrémně výhodné tyhle stacionární stavy používat jako bázové stavy. Ale to si ukážeme později.

Offline

 

#5 04. 06. 2024 09:25 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 09:31)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

A když už to umíme udělat pro "jednostavový systém", nic nám nebrání to udělat i pro systém s více stavy. Akorát že operátor energie nebude číslo, ale matice.

Takže:

[mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

Trošku se nám tu vyskytl problém s označováním, takže matici budu značit takto: [mathjax]\bar{A}[/mathjax]

[mathjax]\large \bar{E} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

no a řešení můžeme formálně zapsat úplně stejně jako minule, tedy

[mathjax]\large \bar{C_{(t)}}  =  e^{-i\frac{\bar{E}}{\hbar} t} [/mathjax]


Předpokládám, že jsou mezi vámi i tací, kteří vědí, jak se počítá [mathjax]e^{\bar{A}}[/mathjax], tedy když je exponentem celá matice. Pro ty ostatní to příště ukážu, není to zas tak těžké.

Někdo by se taky mohl ptát, jak jsem přišel na to, že operátor energie je zrovna nějaká matice. No, ano, o tom je vlastně celá kvantová mechanika, o hledání vhodných operátorů. Protože ty definují fyzikální zákony. To co nazýváme stavem je vlastně trochu podružné, to je tzv. volba reprezentace. A nic nebrání tu hru s operátory hrát i v jiné reprezentaci. Sice bych řekl, že těch reprezentací moc nenajdeme, ale nějaké možnosti existují. Ale fyzika je ve skutečnosti skryta v těch operátorech, né v těch stavech. To je docela důležitá věc, kterou je dobré mít pořád na paměti. Některé předpovědi lze odvodit i z vlastností operátorů samotných, úplně bez volby konkrétní reprezentace.

Offline

 

#6 04. 06. 2024 16:56 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 17:17)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

A jak se teda počítá [mathjax]\large e^X[/mathjax], kde X je matice?

Není to zas tak velká záhada, protože funkci [mathjax]\large e^X[/mathjax] umíme rozvinout do mocninné řady

[mathjax]\large e^X = \frac{X^0}{0!} + \frac{X^1}{1!} + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + [/mathjax]

no a celočíselné mocniny jsou jen násobení, [mathjax]\large X^3 = X \cdot X \cdot X[/mathjax], a násobit matice umíme.


Akorát že tohle nám zas tak úplně nepomůže k tomu jak najít analytické řešení. K tomu potřebujeme ještě jeden trik, a to jsou vlastní čísla a vlastní vektory matice.

Vlastní vektor nějaké matice je vektor, který když vynásobíme tou maticí, tak je to stejné jako když bychom jej vynásobili jen nějakým číslem. Tedy (v tomhle příspěvku jsem matici označil jako X, tak se toho budu držet):

[mathjax]X |v \rangle = \lambda |v \rangle[/mathjax]

Vektor v je vlastním vektorem té matice, a lambda je vlastním číslem. Ve skutečnosti nejsou vlastní vektory zas až tak důležité, mnohem důležitější jsou ta vlastní čísla. A pokud ta vlastní čísla dokážeme najít, můžeme matici X vyjádřit ve tvaru

[mathjax]X = P^{-1} \Lambda P[/mathjax]

kde [mathjax]\Lambda[/mathjax] je matice, která má na diagonále vlastní čísla [mathjax]\lambda[/mathjax] původní matice X a jinde nuly. Taková matice se velmi jednoduše umocňuje, protože když ji umocníme na n-tou, je to stejné jako když každé z vlastních čísel umocníme na n-tou.

A protože [mathjax]P^{-1} \cdot P = 1[/mathjax], je nyní už jasné, jak budeme umocňovat matici X:

[mathjax]X^2 = P^{-1} \Lambda  P \cdot P^{-1} \Lambda  P = P^{-1} \Lambda^2 P[/mathjax]

a obdobně

[mathjax]X^3 =  P^{-1} \Lambda^3 P[/mathjax]

nebo rovnou

[mathjax]X^n =  P^{-1} \Lambda^n P[/mathjax]



Takže po dosazení do mocninné řady nakonec dostaneme, že

[mathjax]e^X =  P^{-1} e^\Lambda P[/mathjax]   a   [mathjax]e^\Lambda  = diag [e^{\lambda_1}, e^{\lambda_2}, ... e^{\lambda_n}][/mathjax]

Takže je vidět, že vlastní čísla matice jsou velmi důležitá, a pokud je najdeme, dokážeme snadno spočítat i výraz [mathjax]e^X[/mathjax].

Pozn:
Uvedený postup nemusí fungovat, když budou některá vlastní čísla stejná, a také existují matice, které nejsou tzv. diagonalizovatelné, a na tento tvar je převést nelze. Ale tím se tady nemusíme zabývat.

A pokud se někomu nelíbí ten výpočet [mathjax]e^X[/mathjax], může si ten proces s maticí vlastních čísel udělat hned na začátku, a dostane tak N diferenciálních rovnic které nejsou navzájem provázány, a lze je vyřešit každou jednotlivě. Výsledek bude úplně stejný.

Offline

 

#7 04. 06. 2024 17:07 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 17:12)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

(pozor, teď zase budu používat jiná písmenka než v předchozím příspěvku)

Měli jsme tedy kvantový systém popsaný rovnicí

[mathjax]\large \bar{E} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax][mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

jehož řešením je

[mathjax]\large \bar{C_{(t)}}  =  e^{-i\frac{\bar{E}}{\hbar} t} [/mathjax]

což jak už víme, je nějaká kombinace funkcí typu

[mathjax]\large Cn_{(t)}  =  e^{-i\frac{E_n}{\hbar} t} [/mathjax]

kde En jsou vlastní čísla té matice.

Čímž se dostáváme trochu oklikou k jednomu ze základních principů kvantové mechaniky - pokud má nějaký kvantový systém ostrou hodnotu energie, může to být jen jedno z vlastních čísel toho operátoru energie. Pokud se nachází v superponovaném stavu, zase může jít jen o superpozici několika vlastních čísel toho operátoru.

Princip platí i pro jiné operátory, ale my v klidu zůstaneme u operátoru energie, už teď je toho nad hlavu.

Takže pro řešení rovnice popisující kvantový systém

[mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]

je vlastně nejdůležitější nalézt vlastní hodnoty toho operátoru energie [mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H}[/mathjax], což znamená vyřešit rovnici

[mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = E|\varphi \rangle[/mathjax]

S nalezením vlastních čísel také zpravidla najdeme i jim odpovídající vlastní vektory, a když máme štěstí, tak budou dokonce i ortogonální, a každopádně jsou stacionární (protože stavy s ostrou hodnotou energie se v čase vždy vyvíjí jako [mathjax]e^{i\frac{E}{\hbar}t}[/mathjax], a jsou tedy extrémě vhodné jako bázové stavy pro vyjádření všech ostatních možných stavů našeho systému.

Offline

 

#8 04. 06. 2024 17:44 — Editoval MichalAld (04. 06. 2024 17:53)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

No, chtěl jsem ještě ukázat, že když umíme vyřešit systém s N stavy, lze to rozšířit i na nekonečné množství stavů, a pak už z toho lze získat i řešení představující pohyb částice, ale už to si nebudu dělat, je toho víc, než se na první pohled zdálo. Takže přikročíme rovnou ke spojitému případu, kdy má částice k dispozici celý prostor - budeme tedy uvažovat jen jednu dimenzi, pohyb částice podél nějaké osy.

Základní kvantový zákon pohybu už známe, ten je pořád stejný

[mathjax]\large \stackrel{\text{^}}{H} |\varphi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt}|\varphi \rangle[/mathjax]


ale musíme vyřešit dvě věci:

1) co použijeme jako bázové stavy pro částici ve volném prostoru

2) a samozřejmě - jak bude v této reprezentaci vypadat operátor energie.


První co nás napadne, když jde o polohu a pohyb částice, že bázový stav by mohl vyjadřovat, že se částice nachází na nějaké poloze x. Třeba x = 20.17, v námi zvoleném souřadném systému. Můžeme to klidně označit jako stav [mathjax]| x = 20.17 \rangle[/mathjax]. Jenže 20.17 není jediná poloha, kde se může naše částice nacházet, klidně může být třeba na poloze 125.3, takže další stav bude [mathjax]| x = 125.3 \rangle[/mathjax]

No, trochu to zkrátím, potřebujeme tolik stavů, kolik je na ose x možných poloh, a těch je nekonečné množství. A dokonce nespočetné množství. Což nám trochu komplikuje situaci, protože náš stav systému bude vyjádřený v bázi, která má nespočetné množstsví bázových stavů. Nevystačíme si tedy jen s čísly Cn, jak jsme to dělali dříve, musíme vzít celou funkci C(x). A ta už tím pádem nebude určovat pravděpodobnost, ale jen hustotu pravděpodobnosti.

A u systémů s konečným počtem stavů byly tyhle konstanty také závislé na čase, což teď budou muset taky, takže nakonec máme funkci C(x, t), oproti dřívějším několika funkcím C1(t), C2(t), ... Cn(t). A namísto sčítání budeme mít integrály, a když budeme chtít vyjádřit, že je částice přesně na poloze x = 20.17, budeme na to muset použít Diracovu delta-funkci (také se říká Diracůc impulz).

A pak ještě musíme najít operátor energie. To už naštěstí udělali chytří lidé za nás, takže když víme, že klasická volná částice má kinetickou energii [mathjax]E = \frac{p^2}{2m} [/mathjax], bude kvantový operátor energie

[mathjax]\Large \stackrel{\text{^}}{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}[/mathjax]

I když existuje postup, jak z klasických vztahů pro polohu, rychlost, energii a hybnost získat jejich kvantové ekvivalenty (operátory), nefunguje to úplně vždycky, a musíme to brát jako nový fyzikální zákon, který je nutné ověřovat experimenty.

Takže volnou částici pohybující se podél osy by měl popisovat tento vztah (říká se mu Schrodingerrova rovnice):

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} C_{(x,t)} = i \hbar \frac{d}{dt} C_{(x,t)}[/mathjax]

Pořád platí, že funkce C(x,t) jsou vlastně jen souřadnice stavového vektoru v našich bázových stavech |x> a sama nemá fyzikální význam. Fyzikální význam má jen ten skalární součin bra a ket-vektorů, "pasti" a stavu, [mathjax]\langle \eta|\varphi \rangle[/mathjax], což ve spojitém případě přejde na integrál:

[mathjax]\large \langle \eta|\varphi \rangle = \int \eta^*_{(x,t)}\cdot\varphi_{(x,t)}dx[/mathjax]

Je to pořád to samé, jen se to znatelně zkomplikovalo díky tomu, že bázových stavů máme nekonečný a nespočetný počet.

Offline

 

#9 05. 06. 2024 18:24

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Pohyb volné částice není samozřejmě příliš zajímavý případ, ale stejně si můžeme ukázat, jak kvantovka volnou částici popisuje, a jak se uvedená rovnice řeší. Bude se nám to hodit později. No, matematici mají na diferenciální rovnice "univerzální postup" - když uhádneš řešení, další postup už je celkem snadný. A jednou takhle někdo uhádl, že na naši rovnici (i na spoustu jiných podobných) můžeme předpokládat, že funkci C(x,t) můžeme složit ze dvou funkcí, z nichž jedna bude záviset jen na x, druhá jen na t. Tedy

[mathjax]\Large C_{(x,t)} = X_{(x)} \cdot T_{(t)}[/mathjax]

Nazvat ty dvě funkce jako X(x) a T(t) je možná trochu matoucí, lepší by asi bylo použít třeba f(x) a g(t), jenže takto můžeme místo X(x) psát jen X a pořád víme, že je to funkce proměnné x. Takže můžeme psát, že

[mathjax]\Large C_{(x,t)} = X \cdot T[/mathjax] (a všichni víme, co to znamená).

Takovouto funkci lze snadno derivovat,

[mathjax]\Large \frac{\partial}{\partial x}C_{(x,t)} = X' \cdot T[/mathjax]
[mathjax]\Large \frac{\partial^2}{\partial x^2}C_{(x,t)} = X'' \cdot T[/mathjax]
[mathjax]\Large \frac{\partial}{\partial t}C_{(x,t)} = X \cdot T'[/mathjax]

Dosadíme do rovnice

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} C_{(x,t)} = i \hbar \frac{d}{dt} C_{(x,t)}[/mathjax]

takže

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} X'' \cdot T = i \hbar X \cdot T'[/mathjax]

a po úpravě máme

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} X'' \cdot \frac{1}{X} = i \hbar  T' \cdot \frac{1}{T}[/mathjax]

A teď ten trik. Sice to dá chvíli přemýšlení, než tu myšlenku člověk přesně pochopí, ale nakonec zjistí, že je to jednoduché. Levá strana závisí jen na x. Když se změní t, levá strana se změnit nemůže, protože na t nezávisí. Jenže když se nezmění levá strana, nemůže se změnit ani ta pravá, protože jsou si rovny. Takže ani pravá strana nezávisí na t. Stejně tak můžeme ukázat, že levá strana nezávisí na x. Takže jediná možnost, jak tuhle rovnici splnit je, že obě strany jsou rovny nějaké konstantně, kterou označíme E (můžeme si dovolit trochu podvádět, protože už to udělal někdo před námi a tak víme, že ta konstanta bude energie). Takže

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} X'' \cdot \frac{1}{X} = i \hbar  T' \cdot \frac{1}{T} = E[/mathjax]

Tím nám z toho vznikly dvě obyčejné dif. rovnice. Takže začneme tou T-čkovou:

[mathjax]\large  i \hbar  T' \cdot \frac{1}{T} = E[/mathjax]

[mathjax]\large  i \hbar  T'  -ET = 0[/mathjax]

řešení už každý vidí...(a kdo nevidí, může si to dosadit a zkontrolovat)

[mathjax]\large  T_{(t)} = C e^{-i\frac{E}{\hbar}t}[/mathjax]


Druhá rovnice není o moc horší,

[mathjax]\large -\frac{\hbar^2}{2m} X'' \cdot \frac{1}{X} = E[/mathjax]

[mathjax]\large \frac{\hbar^2}{2m} X'' +  EX = 0[/mathjax]

Někteří si určitě vzpomenou, že je to rovnice netlumených harmonických kmitů (kdyby ten parametr tedy byl čas a né poloha) a řešení je

[mathjax]X_{(x)} = \large A \sin (kx + \varphi)[/mathjax]

případně jinak zapsané

[mathjax]X_{(x)} = C_1 e^{-ikx} + C_2 e^{+ikx}[/mathjax]

Konstantu k nazýváme vlnový vektor, nebo taky úhlový vlnočet (jako analogie úhlového kmitočtu), dosazením řešení do rovnice můžeme určit jeho hodnotu

[mathjax]\large k = \sqrt\frac{2mE}{\hbar^2} = \frac{p}{\hbar}[/mathjax]

p je hybnost, E je energie.

Takže řešení je

[mathjax]\large X_{(x)} = C_1 e^{-i\frac{p}{\hbar}x} + C_2 e^{+i\frac{p}{\hbar}x}[/mathjax]

No a teď to můžeme složit s tím řešením první rovnice, a dostaneme celé řešení

[mathjax]\large C_{(x,t)} = X_{(x)} \cdot T_{(t)}[/mathjax]

násobit exponenciály předpokládám umí každý, takže výsledek je


[mathjax]\huge X_{(x)} = C_1 e^{-\frac{i}{\hbar}(Et - px)} + C_2 e^{-\frac{i}{\hbar}(Et + px)}
[/mathjax]


Jeden člen představuje (komplexní) vlnu šířící se v kladném směru osy x, druhý v záporném směru osy x. Energie a hybnost je samozřejmě určena hmotností a rychlostí té částice kterou popisujeme. Tedy, původní klasické částice, kterou nyní popisujeme kvantově.

Nelze si nevšimnout, že pokud budeme uvažovat jen jednu z těch vln, třeba tu dopřednou, že se zase mění jen fáze, v prostoru i čase, ale velikost zůstává stejná. Tedy i pravděpodobnost, kterou tato vlna představuje, je všude stejná. všude v prostoru a všude i v čase. Tedy částice s ostrou hodnotou energie má stejnou pravděpodobnost výskytu v celém prostoru.

Dále - hodnoty energií nejsou ničím omezené. Pro libovolnou energii nám rovnice dává řešení. U volné částice k žádnému "kvantování energie" nedochází.

Offline

 

#10 05. 06. 2024 18:34

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Jak ale popsat částici, která se má někde nacházet? Která bude alespoň trochu lokalizovaná? Aby byla aspoň u mne v kuchyni, a né úplně kdekoliv?

Nezbývá, než sečíst několik vln, o různých frekvencích (tedy energiích). Pokud chceme, aby byla částice opravdu "někde", musíme vytvořit tzv. vlnový balík. Ale to už tu ukazovat nebudu, je to na dalších x stránek. Kdo chce, může se kouknout třeba na wiki

Matematiku komplikuje to, že pokud chceme dostat balík, který je v prostoru ohraničený, musíme těch vln sečíst nekonečně mnoho, všechny vlny v nějakém rozsahu energií. Je to vlastně Fourierova transformace.

Takto je tedy nutno popsat částici, která se má někde nacházet, a přemísťovat se z místa na místo. Má li naproti tomu mít částice zcela přesně danou energii, nelze o jejím pohybu vůbec mluvit. Je prostě nějakým způsobem "rozplizlá" v celém prostoru.

Offline

 

#11 06. 06. 2024 16:26 — Editoval MichalAld (06. 06. 2024 16:26)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Ještě než se pustíme do závěrečného kroku, tj. do řešení rovnice zahrnující i potenciál (potenciálovou jámu), chtěl jsem ještě upozornit na jeden detail. V rámci řešení schrondingerrovy rovnice pro volnou částici jsme se dostali k řešení rovnice

[mathjax]\huge -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} X_{(x)} = E \cdot X_{(x)}[/mathjax]

Což tedy není nic jiného než hledání vlastních čísel operátoru energie H.

[mathjax]\huge \stackrel{\text{^}}{H} X_{(x)} = E \cdot X_{(x)}[/mathjax]

A s tím už jsme se setkali dříve, když byl operátor energie jen matice. Také jsme hledali její (či jeho) vlastní čísla.

Je to totiž jeden ze základních principů kvantové mechaniky, že veličiny popisujeme pomocí operátorů, a naměřitelné hodnoty jsou jen vlastní čísla toho operátoru.

U volné částice jsou povoleny všechny možné hodnoty energie. Vlastní čísla nemají žádné omezení. U vázané částice už to tak ale nebude. Jsou povoleny jen určité hodnoty energie, jen určitá vlastní čísla. To omezení ale neplyne přímo z operátoru energie, plyne z omezení, která klademe na vlastní vektory, tedy na ty vlnové funkce, které vlastním číslům (energiím) přísluší. Protože aby naše vlnová funkce mohla představovat pravděpodobnost, musí být obsah, který ohraničuje jednotkový. Nebo alespoň konečný - pak si to můžeme přenásobit tak, aby jednotkový byl. Ale nemůže nám utíkat do nekonečna. A to právě většina vlnových funkcí udělá. Jen ve velmi speciálních případech se nám podaří zajistit, aby do nekonečna neutíkala. A to jsou právě ty povolené hodnoty energie.

Matematici by řekli, že je to důsledkem okrajových podmínek, které přiřadíme k té diferenciální rovnici.

Offline

 

#12 07. 06. 2024 08:16

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Takový motivační příklad, abychom hned pochopili, kde se diskrétní hodnoty vlastních čísel berou je třeba rovnice

[mathjax]y'' + k^2y = 0[/mathjax]

s podmínkami [mathjax]y(0) = 0[/mathjax], [mathjax]y(L)=0[/mathjax]

Je to (už jsme na to několikrát narazili) rovnice netlumeného kmitání (či vln), řešení je

[mathjax]y = A \sin(kx) + B \cos(kx)[/mathjax]

(kdo nevěří, může si to ověřit dosazením).

Teď předpokládejme, že to vlnové číslo k není předem dané, že může být jakékoliv, jen když splní naše okrajové podmínky. Je jasné, že z podmínky y(0) = 0 plyne že člen obsahující cosinus musí být nulový. Jinak to splnit nelze. Člen obsahující sinus může být naproti tomu libovolný. Takže ten musíme určit tak, aby nám splnil podmínku na "druhé straně", v tom bodě L. Tedy

[mathjax]y(L) = A \sin(kL) = 0[/mathjax]

A my víme, že funkce sin(x) nabývá nulových hodnot jen pro [mathjax]x = 0, \pi, 2 \pi, 3\pi ... n\pi[/mathjax] takže vlnové číslo k může být jen

k = [mathjax]n\frac{\pi}{L}[/mathjax]

No a všechny ty diskrétní hodnoty energie u kvantových systémů, kde je částice vázána v potenciálové jámě jsou variacemi na tuhle myšlenku. Jen ty okrajové podmínky mohou být obecně jiné, zpravidla se tam objevuje požadavek, že vlnová funkce nesmí utíkat do nekonečna. Musí být, jak by řekli matematici, "integrovatelná s kvadrátem". Tedy že integrál druhé mocniny její absolutní hodnoty (po zahození fáze) musí být konečné číslo. Jinak by nemohla představovat pravděpodobnost.

A jak si za chvíli ukážeme, většina řešení má právě tendenci do nekonečna utíkat. A my z nich musíme vybrat jen těch pár, které naopak jdou v nekonečných vzdálenostech k nule.

Offline

 

#13 07. 06. 2024 08:26

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Teď se zase vrátíme o krok zpátky. Operátor energie pro částici v systému, kde se vyskytuje i potenciální energie je

[mathjax]\huge \stackrel{\text{^}}{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_{(x)}[/mathjax]

Člen V(x) odpovídá potenciální energii, závislé na poloze. Když jde o částici, zpravidla to bude elektrický potenciál. Toto už je vlastně rovnice, co by nám mohla popsat elektron v atomu. Jen bychom ji museli rozšířit na 3 dimenze. To ale dělat nebudeme, to už je moc složité. No a samozřejmě, musíme si zvolit vhodný průběh potenciálu.


Úplně nejjednodušší, co můžeme udělat je "nekonečně hluboká potenciálová jáma". Tedy, že hodnota potenciální energie je nulová v rozsahu <0, L> a nekonečná všude jinde. Tedy předpokládáme, že tam (všude jinde) bude nulová právděpodobnost výskytu částice, a může se vyskytovat jen v tom intervalu <0, L>. No a na krajích toho intervalu by mělo řešení spojitě navazovat na to za krajem, tedy mělo by být v krajích nulové. Mě to ale přijde, že to tak úplně z ničeho neplyne, na první pohled. Proto se mi tohle jako příklad moc nelíbí. Nicméně je to jednoduché - je to úplně stejná rovnice, jako jsme řešili před chvílí, jen je v ní pár konstant navíc. Takže řešením mohou být jen sinusovky s vhodnou délkou, aby na okrajích skončily v nule.

Taky už víme, že není třeba řešit celou Schrodingerrovu rovnici, ale stačí se zaměřit na hledávní vlastních čísel toho operátoru energie, tedy řešit rovnici ve tvaru:

[mathjax]\huge \stackrel{\text{^}}{H} X = (-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_{(x)})X = EX[/mathjax]

S tím, že V(x) = 0 v intervalu <0, L> a jinde rovnici neřešíme.

Offline

 

#14 07. 06. 2024 14:39 — Editoval Bati (07. 06. 2024 14:40)

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Pardon, ze se vtiram, ale podle me efektivnejsi odpoved na danou otazku je, ze operator [mathjax]L f=-f''[/mathjax] (ktery se vyskytuje ve Schrodingerove rci) s okrajovymi podminkami [mathjax]f(0)=0[/mathjax], [mathjax]f(1)=0[/mathjax] ma diskretni spektrum (ve vsech prostorech, na kterych ten operator ma smysl). To je latka z ODR 1, pripadne lepsiho gymnazia.

Offline

 

#15 07. 06. 2024 15:04 — Editoval MichalAld (07. 06. 2024 15:08)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

↑ Bati:

Já to nerozporuji.
Teda, trochu mě překvapuje, že se na gymnáziích učí o diferenciálních operátorech, ale jinak to nerozporuji.

Každopádně jsem nadšený, že na to někdo kouká.

Offline

 

#16 07. 06. 2024 15:29

Bati
Příspěvky: 2437
Reputace:   191 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

↑ MichalAld:
Ok, me jenom zarazilo, kdyz jsem videl ty slohy, jestli mi neco zasadniho neuniklo. Takze jsem rad, ze ne:)

No spis nez obecne operatory jsem myslel rovnice jako [mathjax]f''+kf=0[/mathjax]... tu jsem uz na stredni urcite parkrat potkal a vim, ze resitelnost v zavislosti na k bylo taky celkem popularni tema

V poradku, muzes pokracovat :)

Offline

 

#17 07. 06. 2024 16:27 — Editoval MichalAld (07. 06. 2024 16:29)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

No a když už jsem to teda zas otevřel, můžeme pokročit dále, k té potenciálové jámě kvadratického průběhu. Tedy [mathjax]V(x) = Cx^2[/mathjax]. Operátor energie tedy bude

[mathjax]\huge \stackrel{\text{^}}{H} X = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2[/mathjax]

a jeho vlastní čísla najdeme řešením rovnice

[mathjax]\huge (-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2) X(x) = E \cdot X(x)[/mathjax]


Jinak tenhle kvantový systém odpovídá klasickému oscilátoru popsanému rovnicí

[mathjax]\large \frac{d^2}{dt^2}x + \omega^2 x = 0[/mathjax]

správně by se mělo nejdřív napsat

[mathjax]\large m\frac{d^2}{dt^2}x + k x = 0[/mathjax]

kde k je tuhost té pružiny, ale když už víme, že nám pak vyjde [mathjax]\omega^2 = \frac{k}{m}[/mathjax], můžeme to tam napsat rovnou. V kvantovém oscilátoru naproti tomu žádná tuhost pružiny neexistuje, v kvantovém světě pojem síla vůbec nepoužíváme. Musíme si vystačit s představou energie, a s tím, že frekvence co nám vyjde je frekvence té komplexní vlny, která se ve skutečném světě vůbec neprojevuje. Teda, aspoň né úplně přímo a jednoduše.

Offline

 

#18 07. 06. 2024 17:49 — Editoval MichalAld (07. 06. 2024 17:53)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Takže máme naši rovnici

[mathjax]\huge (-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2) X(x) = E \cdot X(x)[/mathjax]

První krok je zbavit se všech těch konstant. Z fyzikálního hlediska to může znamenat taky to, že měříme v trochu jiných jednotkách než jsou běžné metry, kilogramy a sekundy. Z matematického hlediska to znamená zavést substituci

[mathjax]\large x = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x[/mathjax]

(matematici teď určitě zakroutí hlavou a namítnou, že by se měla použít jiná proměnná, ale mě se zase kroutí oči, když mám namísto x používat [mathjax]\xi = \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x[/mathjax]

a pak ještě si pár věcí schováme do konstanty [mathjax]\lambda [/mathjax]

[mathjax]\large \lambda = \frac{2}{\hbar \omega}E[/mathjax]

je to tedy zase taková "bezrozměrná energie".

A pak tedy dostaneme rovnici

[mathjax]\huge \frac{d ^2 X_{(x)}}{dx^2} + (\lambda - x^2) X_{(x)} = 0[/mathjax]

nebo tedy

[mathjax]\huge X'' + (\lambda - x^2) X = 0[/mathjax]

Bohužel, ani oblíbená metoda uhádnout a vyzkoušet řešení nám tady úplně nepomůže. Tahle rovnice úplně analytické řešení nemá. No, první krok, co někdo uhádnul je zkoumat, jak se bude rovnice chovat pro velká x, tedy v nekonečných vdálenostech. Potom ve členu [mathjax](\lambda - x^2)[/mathjax] můžeme tu lambdu zanedbat, a zůstane nám jen

[mathjax]\huge X'' - x^2 X = 0[/mathjax]

Tahle rovnice už řešení má, a to

[mathjax]\huge X = Ae^{-\frac{x^2}{2}} + Be^{\frac{x^2}{2}}[/mathjax]

Ten druhý člen nám pro velká x roste k nekonečnu, což je přesně to co nechceme, takže si B položíme rovné 0, a ponecháme si jen ten první člen, který pro velká x klesá pěkně k nule. No a dalším krokem, co můžeme v rámci našeho hádání zkusit je předpokládat, že A není konstanta, ale nějaká funkce, která závisí taky na x. Tedy A = A(x). To už nás ke správnému řešení dovede, byť dosti strastiplnou cestou.

[mathjax]\huge X_{(x)} = A_{(x)}e^{-\frac{x^2}{2}}[/mathjax]

Teď teda pár kroků vynechám, takže mi musíte věřit, ale když si vyjádříme druhou derivaci funkce X(x), a dosadíme do původní rovnice, dostaneme nakonec po úpravách rovnici pro funkci A(x):

[mathjax]\huge \frac{d ^2 A_{(x)}}{dx^2} - 2x\frac{dA_{(x)}}{dx} + (\lambda - 1) A_{(x)} = 0[/mathjax]

Ta se sice taky nedá analyticky řešit, ale dá se najít její řešení ve tvaru mocninné řady. Pokud tedy předpokládáme, že funkci A(x) můžeme zapsat jako mocninou řadu, tedy

[mathjax]\huge A_{(x)} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a3x^3 .... a_nx^n[/mathjax]

můžeme tuto řadu po provedení první a druhé derivace dosadit do rovnice, a porovnat koeficienty u stejných mocnin. Úplně nevím, jestli se mi to sem chce psát, je to dost dlouhé a nezáživné... (když by to někoho moc zajímalo, tak to sem klidně napíšu) no a nakonec dostaneme pro koeficienty mocninné řady rekurentní vztah

[mathjax]\huge a_{k+2} = \frac{2k+1-\lambda}{(k+1)(k+2)}a_k[/mathjax]

první dva koeficienty si musíme zvolit, a0 a a1, a ostatní už pak spočítáme. Z koeficientu a0 počítáme ty sudé koeficienty, z a1 ty liché.

Offline

 

#19 07. 06. 2024 19:36

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Má to ovšem háček. Dá se ukázat, že naše funkce rozvinutá do mocninné řady roste rychleji než [mathjax]e^{\frac{x^2}{2}[/mathjax]. Takže výsledná funkce

[mathjax]\large X(x) = A(x) e^{-\frac{x^2}{2}}[/mathjax]

nám bude stejně pro velká x utíkat do nekonečna. Což je blbé, protože když má představovat pravděpodobnost, potřebovali bychom aby pro velká x šla k nule.


POZN:
Zde by mi mohli přítomní matematici poradit, jak to z té řady přesně plyne. Já to v tom zas tak úplně nevidím, a nikde se mi to nepodařilo najít. Mám to jen pro vodíkový atom, což je ale trochu jiná řada. Pro tuhle to ve skutečnosti úplně přesně nevím.



No, ale přišlo se nakonec na jeden trik. Když by nám nějaké [mathjax]a_k[/mathjax] vyšlo nulové, tak všechna ostatní za ním už by byla nulová také. A namísto nekonečné mocninné řady by zůstal jen polynom, a polynom přenásobený [mathjax]e^{-\frac{x^2}{2}}[/mathjax] půjde vždy k nule (exponenciála roste vždy rychleji než libovolná mocninná funkce). Takže pokud se nám podaří najít vhodné lambda tak, aby nějaké [mathjax]a_k[/mathjax] vyšlo nulové, máme vyhráno.

Není to zas tak složité, stačí položit čitatel toho zlomku rovný nule

[mathjax]\huge 2k + 1 - \lambda = 0[/mathjax]

a dostáváme povolené hodnoty,

[mathjax]\huge \lambda = 2k + 1[/mathjax]

Ještě to má teda dodatečnou podmínku, jeden z těch koeficientů, buď a0 nebo a1, podle volby lambda musíme taky položit rovný nula. Žádná volba lambdy nám nevynuluje liché i sudé koeficienty zároveň.

Offline

 

#20 07. 06. 2024 19:46

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Částice v potenciálové jámě

Tak jsme se nakonec dohrabali k dlouho očekávanému výsledku. V konstantě [mathjax]\lambda[/mathjax] je schovaná energie. A ta může nabývat jen určitých hodnot (při vhodné volbě jednotek je to prostě 1, 2, 3, 4...n) abychom dostali vlnovou funkci, která při velkých vzdálenostech od potenciálové jámy klesá k nule. Všechna ostatní řešení nám utíkají do nekonečna.

Takže ono diskrétní spektrum operátoru energie není vlastností samotné té diferenciální rovnice, ale je důsledkem té okrajové podmínky - že funkce musjí jít pro velká x k nule. Je to docela zvláštní, jak takováhle "blbina" nám zařídí diskrétní energetické hladiny.

No, svět se takto skutečně chová. U atomu vodíku je to trochu jinak, tam není potenciál úměrný [mathjax]x^2[/mathjax] ale [mathjax]1/x[/mathjax], a myslím, že to jsou jedny z mála potenciálů, kde to lze spočítat analyticky. U harmonického oscilátoru jsou od sebe hladiny všechny stejně daleko, u atomu to tak není.

Na anglické wiki lze najít jak vypadají ty vlnové funkce i spousta dalších věcí...

Za zmínku stojí ještě dvě věci - energie i toho nejnižšího stavu není nulová. Kvantová částice není nikdy úplně v klidu, dá li se to tak říct.
No a na obrázku z wiki je vidět, že existuje nenulová pravděpodobnost výskytu i tam, kde by být neměla, kde je potenciální energie větší než ta kinetická, kde je celková energie částice záporná. To je vysvětlení tzv. tunelového jevu ... kdyby to byla jen energetická bariéra, existuje malá, ale nenulová pravděpodobnost, že ji částice přeletí, i když její energie je nižší než energie toho valu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson