Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 15. 07. 2024 09:33

kastanek
Příspěvky: 180
Škola: G
Pozice: student
Reputace:   
 

Polohová konstrukce trojúhelníku

Zdravím, nenapadla by vás nějaká elegantní konstrukce následující konstrukční úlohy?
V rovině je dán úhel s vrcholem [mathjax]A[/mathjax] a velikostí [mathjax]\alpha[/mathjax] a dále dvě úsečky s délkou [mathjax]a[/mathjax] a [mathjax]v_a[/mathjax]:
Odkaz
Zkonstruujte trojúhelník ABC, kde vrcholy B a C leží na ramenech zadaného úhlu a délky strany "a" a výšky na "a" jsou dány úsečkami KL a MN. Jde tedy o úlohu [mathjax]a,\,\alpha,\,v_a[/mathjax], kde je dáno umístění úhlu BAC.
Mám nějaké řešení, jedno je krkolomné (přes 30 kroků), další využívá (dost nepřehledně) shodnost (čemuž se asi nevyhneme, ale třeba budete mít něco elegantnějšího).

Offline

 

#2 15. 07. 2024 11:47

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6246
Škola:
Reputace:   145 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ kastanek: Bolo by možné niekde mimo začať stranou [mathjax]a[/mathjax], potom zostrojiť kružnicu, na ktorej leží vrchol [mathjax]A[/mathjax], pomocou výšky nájsť tento bod (body), no a potom už len preniesť strany [mathjax]b, c[/mathjax] na predpísané miesto.

Offline

 

#3 15. 07. 2024 14:00

kastanek
Příspěvky: 180
Škola: G
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ vlado_bb:
Však ano, tím jsem myslel to použití shodnosti, ale něco elegantnějšího. Takto je třeba použít dvě shodnoti (posunutí a otočení). Já mám konstrukci jen s otočením (začínám rovnou bodem A), přesto je to takové nepěkné...

Offline

 

#4 16. 07. 2024 12:03

check_drummer
Příspěvky: 4779
Reputace:   105 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ kastanek:
Proč ti to přijde nepěkné? Asi by tedy bylo dobré abys sem napsal co ti přijde pěkné a co ne (nějakou obecnou definici, např. pomocí počtu kroků, apod.), aby se tady lidi nesnažili a ty jim pak jen nenapsal, že to není pěkné....


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#5 16. 07. 2024 13:02

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ kastanek:

Všimni si, jak hovím tvým přáním  a nepomáhám

Eratosthenes napsal(a):

↑↑ kastanek:

Promiň, že pomáhám. Já už to víckrát neudělám.

kastanek napsal(a):

↑↑ Eratosthenes:
... Neudělej, prosím.

Je to krásná motivace pojmů polohová a nepolohová úloha a otázky, co je a co není jejich řešením :-)

Takže díky za pěknou úlohu. Vrazím ji do nějakého svého hitu. Ale na toto fórum

po předchozí zkušenosti

rozhodně ne.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 16. 07. 2024 20:03 — Editoval surovec (17. 07. 2024 07:51)

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ check_drummer:
Ano, je to nejasně definované. Ale jak to přesněji definovat? Určitě by mohlo být kritériem počet kroků konstrukce, nepoužití shodnosti (jejím použitím se totiž zcela smazává smysl formulace "polohová úloha"), a pokud je shodnost použita (což tady asi bude nezbytné), tak jen hodně nenápadně ;-)

Offline

 

#7 16. 07. 2024 20:11

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

surovec napsal(a):

↑ check_drummer:
nepoužití shodnosti (jejím použitím se totiž zcela smazává smysl formulace "polohová úloha"), a pokud je shodnost použita (což tady asi bude nezbytné), tak jen hodně nenápadně ;-)

Právě že nesmazává, naopak vynikne.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 16. 07. 2024 20:17 — Editoval surovec (17. 07. 2024 07:55)

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ Eratosthenes:
To je pěkně zformulované, díky.
V této diskuzi (a podobné předchozí), bylo však rozebíráno to, že pojem "polohová" úloha v podstatě ztrácí smysl, neboť můžeme libovolně umístit libovolný jiný prvek, kterým se začíná snadněji, provést konstrukci a výsledný trojúhelník pak shodností přemístit na původní zadaný objekt. Přesně to vystihuje příspěvek vlada, který navrhnul začít úsečkou o délce "a" (tato konstrukce je triviální) a přemístit výsledný trojúhelník "do" zadaného úhlu. Toto je však "takový malý podvod" (bez definice, co to znamená), proto přemýšlím, zda je konstrukce začínající zadáním umístěného úhlu alpha možná bez užití přemístění... Já mám konstrukci, která začíná přímo v bodě A, ale ve finále stejně dojde k rotaci.

Offline

 

#9 16. 07. 2024 21:30

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ surovec:

Při geometrických konstrukcích nemůžeš zakázat shodnost ani "přenášení" (což opět není nic jiného, než použití shodnosti). To je totéž, jako kdybys při řešení rovnic zakázal sčítání a odčítání.

Příklad: Dány rovnoběžky a, b, c. Sestroj rovnostranný trojúhelník ABC, A in a, B in b, C in C.  Jak to uděláš bez rotace? Obávám se, že nijak.

Příklad v tématu: jak sestrojíš trojúhelník bez "přenesení" úseček KL, MN? Obávám se, že nijak...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#10 16. 07. 2024 21:40

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

Eratosthenes napsal(a):

↑ surovec:

Příklad v tématu: jak sestrojíš trojúhelník bez "přenesení" úseček KL, MN? Obávám se, že nijak...

To je pravda.
Nicméně pokud budu chtít, použití shodnosti zakázat můžu. Jinak pak opravdu ztrácí smysl pojem "polohová úloha". Např. pokud tuto úlohu začnu stranou "a", tak shodnost použít vůbec nemusím.

Offline

 

#11 16. 07. 2024 22:40

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ surovec:

Musíš. Jestliže totiž úlohu začneš stranou a, určitě se úhlem alfa netrefíš do zadaného úhlu XAY. Takže tvůj trojúhelník, který sis sestrojit někde bokem, budeš muset přenést.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#12 17. 07. 2024 00:37 — Editoval surovec (17. 07. 2024 07:57)

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ Eratosthenes:
Měl jsem na mysli to, že pokud by pevně dána byla strana "a" (její umístění) a výška a úhel by byly dány jen jejich velikostí, tak trojúhelník zkonstruuji i bez užití shodnosti. Zatímco pokud je dáno umístění úhlu, jako zde, tak přímou cestu (bez shodnosti) osobně nevidím, ale snadno to vyřeším tak, jak navrhnul ↑ vlado_bb:.

Offline

 

#13 17. 07. 2024 10:34

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ surovec:

To je pravda, ale

1) To není argument proti polohovým úlohám, ale naopak pro. Kdybys totiž zakázal přenášení "hotového trojúhelníku", tak úloha [mathjax]a;v_a; \alpha[/mathjax] s fixovanou stranou ([mathjax]\underline a;v_a; \alpha[/mathjax]) je jednoduchá, kdežto úloha s fixovaným úhlem ([mathjax]a;v_a; \underline \alpha[/mathjax]) je (nejspíš) euklidovsky neřešitelná (ani mě takové řešení nenapadlo).

Ale o to nejde. Přenášet povoleno podle libosti. Ono totiž

2) Jde o počet řešení. [mathjax]a;v_a; \alpha[/mathjax] má jedno, [mathjax]a;v_a; \underline \alpha[/mathjax] a [mathjax]a;\underline v_a; \alpha[/mathjax] mají dvě a [mathjax]\underline a;v_a; \alpha[/mathjax] čtyři.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#14 17. 07. 2024 14:26 — Editoval surovec (17. 07. 2024 19:17)

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ Eratosthenes:
1) Asi si nějak nerozumíme...
2) Při daných hodnotách nemůžou mít jednotlivé polohové úlohy různý počet řešení. Počet řešení závisí na konkrétních hodnotách [mathjax]a,\alpha,v_a[/mathjax], nikoliv na způsobu konstrukce. A konkrétně tato úloha má buď žádné řešení (např. když [mathjax]v_b>a[/mathjax]), nebo jedno (např. když [mathjax]\alpha=90°\wedge v_b<a[/mathjax]), nebo dvě (např. když [mathjax]\alpha=30°\wedge \frac{a}{2}<v_b<a[/mathjax]). Pokud bychom uvažovali značení vrcholů i v záporném směru, pak samozřejmě dvojnásobek (0, 2, 4 řešení).
Edit: Teď koukám, že jsem si blbě přečetl zadání, nejde o úlohu [mathjax]a,\alpha,v_b[/mathjax], nýbrž o [mathjax]a,\alpha,v_a[/mathjax].

Offline

 

#15 17. 07. 2024 17:29

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ surovec:

Ahoj,

vidím, že si z cizího tématu pomalu děláme téma naše, což se mi moc nelíbí. Už proto, že bych svou odpovědí pomáhal někomu, kdo o moji pomoc nestojí (viz výše). Takže bych naši diskusi asi přenesl do soukromých zpráv. První krok už jsem učinil :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#16 19. 07. 2024 19:05

check_drummer
Příspěvky: 4779
Reputace:   105 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

Jestli zakážete shodnost, tak zakážete např. konstrukci kružnice o daném poloměru - protože to je konstrukce všech bodů X takových že úsečka SX (S je pevný) je SHODNÁ s nějakou úsečkou AB (poloměrem té kružnice).


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#17 19. 07. 2024 19:17

Eratosthenes
Příspěvky: 2676
Reputace:   134 
 

Re: Polohová konstrukce trojúhelníku

↑ check_drummer:

Samozřejmě. Pokud bychom "zakázali shodnost", škrtli bychom euklidovské geometrii celou jednu skupinu axiomů, čímž bychom ji zcela zlikvidovali. Nejen kružnici, ale i sestrojení úhlu o zadané velikosti (včetně pravého, nemáš tedy ani kolmost...), úsečky o zadané délce atd. Protože: jak bez shodnosti sestrojíš úsečku o délce třeba 5 cm?  :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson