Matematické Fórum

check_drummer napsal(a):

Ahoj,
Lze nějak "rozumně" definovat součet nespočetně mnoha reálných čísel? Nebo konkrétněji - je nějaká šance, že budeme mít nespočetně mnoho kladných reálných čísel a jejich součet bude (konečné) reálné číslo?

Není jenom šance. Je to už přes sto let vymyšleno.

check_drummer napsal(a):

Ahoj,
Pozor, nejde o určitý integrál, tam se síce "sčítá" nespočetně mnoho hodnot, ale jde o obdélníčky s "nekonečně malou šířkou".

To, o čem píšeš, je ale jen Riemannův integrál. Existuje ovšem i Lebesgueův integrál, který žádné obdélníčky nepotřebuje. Ilustrací budiž například Dirichletova funkce, která má v racionálních bodech nulu a v iracionálnách jedničku. Riemannovým integrálem ji nezintegruješ, protože na každém i "nekonečně malém" intervalu jsou jak nuly, tak jedničky, takže dolní Riemannův intergál je nula a horní je jednička.

Lebesgueův integrál sčítá skutečně jen úsečky s nulovou šířkou, takže třeba na intervalu <0;1> z Dirichletovy funkce je roven jedné, což je přesne to, co lze očekávat. Pokud by funkce na celém intervalu <0;1> byla rovna jedné, jejím integrálem, jak Riemannovým, tak Lebesgueovým spočítáš obsah jednotkového čtverce. Pokud z toho čtverce vyhodíš spočetně mnoho jednotkových úseček (což je případ i Dirichletovy funkce), je R-integrál v troubě a nespočítá nic. L-integrál ti spočítá jak míru ("obsah") těch vyhozených úseček (nula), tak míru toho, co z toho čtverce zbylo (jedna).

Řekne vpodstatě to, co se dá očekávat: "obsah" spočetného počtu úseček je nula, obsah "rozumného" geometrického útvaru lze považovat za součet nespočetně mnoha úseček, který se vyhozením jejich spočetného množství nezmění.

↑ vlado_bb:
Ahoj, ale tím bys tou definicí nezachytil tu nespočetnost. ještě si umím představit že by to supremum bylo přes všechny spočetné a nikoli konečné množiny - tady je otázka zda by to odpovídalo tomu co chceme, možná ano. Ale stejně je to asi zbytečné - viz můj minulý příspěvek.

Pořád zkouším vymyslet nějakou kombinaci aby těch čísel bylo nespočetné množství a přitom to prokazatelně dávalo konečný součet. Ale zatím teda bez úspěchu.

Moje myšlenky se zhruba ubírají směrem, že budeme mít čísla, co mají v tom nekonečném desetinném rozvoji převážně nuly ... a nenulové hodnoty až někde v dálce, obecně čím dál tím větší dálce.

Ale zatím jsem nevymyslel způsob jak jich vyrobit nespočetný počet, aby bylo zároveň zajištěno, že jejich součet nepřeleze z těch nulových míst.

Intuitivně bych řekl, že to není možné, ale důkaz samozřejmě nevymyslím.

↑ check_drummer:

Ale tomu se nelze vyhnout. "Obdélníky s nulovou šířkou" jsou jen geometrickým modelem těch čísel.

Obyčejnou sumu [mathjax]\sum_{n=1}^\infty {1\over n^2}[/mathjax] si můžeš představit jako

1) součet spočetně mnoha racionálních čísel
2) součet obsahů spočetně mnoha obdélníků o stranách 1/n^2 a 1.

Jsou to dva izomorfní modely a ten geometrický je zcela korektní.

Sumu 

[mathjax]\sum_{n\in\langle 0;1\rangle - \mathbb{Q}} {1\over n^2}[/mathjax]

si můžeš představit jako

1) součet nespočetně mnoha iracionálních čísel
2) součet obsahů nespočetně mnoha úseček délky 1/n^2

Jsou to opět dva izomorfní modely a ten geometrický je opět zcela korektní.

↑ check_drummer:

Obsah úsečky je totéž, co obsah jakékoliv jiné množiny bodů - je to míra v dimenzi dvě. Pro úsečku je to nula.

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Pak mi není jasné jak definuješ součet obsahů nespočetně mnoha útvarů, jejichž obsah je 0.

A taky není jasné, kde se ve tvé definici objevuje ten hledaný součet nespočetně mnoha kladných čísel.

Protože body 1) a 2) v tom tvém nespočetném případě už nebudou izomorfní.

Nedefinuji to já, definoval to Lebesgue svým integrálem. A izomorfní to je, jenom ten nespočetný součet holt funfuje jinak než ten spočetný. Nemělo by to být nic překvapivého - nekonečný součet funguje taky jinak než ten konečný.

OK. Zcela bez Lebesgua, úseček a obdélníčků:

↑ Eratosthenes:

V prvním řádku, kde je rovnost tří sum, není jasné co je myšleno tou druhou sumou, jestli je to tvrzení nebo definicie. Každopádně to nepostihuje co chceme, protože v té poslední třetí sumě se sčítá spočetně mnoho čísel a ne nespočetně mnoho - jak si lze snadno ověřit - indexy k,n jsou přirozená čísla a dvojic (k,n) přirozených čísel je jak známo spočetně mnoho. Taky není jasné jak od jednoho nespočetného indexu n přecházíš k indexu (n,k) pro k,n spočetná. tedy není jasné jak ze členů [mathjax]a_n[/mathjax] vzniknou členy [mathjax]a_{n,k}[/mathjax].

check_drummer napsal(a):

Ahoj,
Lze nějak "rozumně" definovat součet nespočetně mnoha reálných čísel? Nebo konkrétněji - je nějaká šance, že budeme mít nespočetně mnoho kladných reálných čísel a jejich součet bude

[mathjax]+\infty[/mathjax].

Muzes to ale udelat jinak, napr. namapovat kazde cislo [mathjax]x[/mathjax] na [mathjax]\delta_x[/mathjax]. Pak i nespocetne soucty davaji smysl, akorat, ze uz si nevystacis pouze s cisly..

↑ Bati:
No právě, to už nebude číslo.

Pořád se mi honí hlavou jedna myšlenka:
Představme si číslo které má nekonečný desetinný rozvoj ... třeba tam budou jen jedničky a nuly (nemusí to být nutně dvojkové číslo, je to úplně jedno). A "mezery mezi jedničkami" budou postupně narůstat. Např:

0.01000001000000000000000000100000000000000000000000000000000000000001...

Teď si představme množinu takovýchto čísel - takových, že nikdy nemají jedničku na stejném místě jako některé z ostatních. Je tahle množina spočetná?

↑ Eratosthenes:
Ale já jsem v příspěvku #4 dokázal, že nespočetně kladných čísel nemůže mít konečný součet.

Ahoj,
řekl bych, že každý  index [mathjax]i[/mathjax] z nespočetné indexové množiny [mathjax] I = \langle 0;1\rangle [/mathjax] je reprezentovaný jednou větví  navrženého nekonečného binárního stromu.
Racionální čísla mají buď konečný rozvoj (od určité úrovně pokračují dál samé nuly) nebo je rozvoj periodický.
Ostatní větve reprezentují iracionální indexy.
Takže strom reprezentuje všechna reálná čísla v intervalu [mathjax]I[/mathjax], to je OK.

Ten převod
[mathjax]\huge \sum_{i\in \langle 0;1\rangle} a_i =\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} a_{k;n} [/mathjax]
vypadá pěkně. Asi  že množina všech podmnožin přirozených čísel je nespočetná? Zdůvodnění by chtělo doladit...