Matematické Fórum

Je to jednoduché, ale lze to jednoduše zesložitit:

První věc je, že Planckův vztah [mathjax]E = hf[/mathjax] s tímhle vůbec nesouvisí. Ten určuje energii jednotlivých fotonů, tj. po jakých kvantech se energie šíří. To s celkovou energií dopadající na plochu nesouvisí a vlastně tě to nemusí vůbec zajímat.

Další problém je samotný "lumen". Lumen je to samé co watt, až ale na dvě věci:
Lumen je watt který vidíme. Co nevidíme (třeba IR záření) má nula lumenů, i když to nějaké watty má. Dokonce je to tak, že když to má stejně lumenů, naše oko by to mělo vnímat stejně. Ale je dost těžké posoudit, jestli dvě světla mají stejnou intenzitu, když je jedno jasně červené a druhé jasně zelené, např. Vymyslely se na to i nějaké triky, jak to dělat.
No a druhý problém je, že 1 watt není 1 lumen, ale z důvodů, která osobně nechápu (nejspíše historických) je 1 watt  = 683 lumenů. Pro světlo, na které máme největší citlivost oka, tedy na zelené o vlnové délce 555nm.

Takže když bereme v úvahu veškeré vyzářené světlo, tak je to ve watech, a když jen to viditelné, tak v lumenech - a je to přenásobené tou stupidní konstantou. Ta konstanta se objevuje pochopitelně ve všech fotometrických veličinách, takže i v kandelách, i v luxech, prostě všude, kde řešíme jen viditelné světlo.

První problém je, že jde o kulovou plochu. Pokud si z ní vezmeme jen malý kousek, můžeme její kulovitost zanedbat. Ale u velké plochy není potom procházející výkon ve všech místech stejný, a je dost těžké to spočítat.

Další věc je, že ta plocha musí být kolmá na dopadající světlo. Pokud není, musíme vzít její kolmý průmět, tedy přenásobit to [mathjax]\cos \varphi[/mathjax]

No a třetí problém je to, že náš zdroj nezáří do všech směrů stejně. Září jen to jistého úhlu. Nicméně nic nám nebrání si představit, že s touto intenzitou září i do ostatních směrů. Jen by pak měl celkový vyzářený výkon vyšší. A tím se dostáváme k představě prostorového úhlu. Takže se zase vrátíme k naší představě kulové plochy, ktrá náš zdroj obklopuje. A navíc si představíme, že má poloměr 1, že je to tedy jednotková koule. Stejně jako normální úhel definujeme na jednotkové kružnici, tak prostorový úhel definujeme na jednotkové kouli.

Pokud náš zdroj vyzařuje úplně do všech směrů, zabírá celý povrch naší myšlené koule, tedy [mathjax]4 \pi[/mathjax]. Říkáme tomu prostorový úhel [mathjax]4 \pi[/mathjax] steradiánů. Pokud vyzařuje jen částí koule, bude prostorový úhel menší - odpovídat povrchu té jednotkové koule.

Na začátku jsem vztah schválně napsal ve tvaru [mathjax]\frac{P}{4 \pi} \frac{1}{r^2}[/mathjax], a to [mathjax]\frac{P}{4 \pi}[/mathjax] nazýváme svítivostí (když jde o watty tak zářivostí). Je to výkon vyzářený do jednotkového prostorového úhlu. Pokud jde o všesměrový zářič. Pokud bude zářit jen do určitého směru, tak tam nebude [mathjax]4 \pi[/mathjax] ale příslušný prostorový úhel.

No, zbývá vlastně poslední věc, a to je určit, jaký prostorový úhel zabírá kužel o známém vrcholovém úhlu. Ale tady už budou muset nastoupit matematici (nebo goolge), já to úplně přesně nevím. Ale našel jsem vztah na wiki (anglické)

https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_ang … hemisphere

Jak jsem říkal, dá se to hezky zesložitit...

↑ JezeveC222: Na výpočet energie ešte potrebuješ čas.