Matematické Fórum

↑ Eratosthenes:
To ne (tj. řeší), já pomocí tech intervalů dokazuju, že žádný součet nespočetně mnoha kladných čísel nemůže být konečný.

↑ Eratosthenes:
Rozumná definice přes integrál přece není - v integrálu žádná reálná čísla nesčítáš. Ano, integrál lze chápat jako součet "nekonečně (nespočetně) mnoha" čísel, ale problém je, že ta čísla jsou "nekonečně malá" - já vyžaduju kladná reálná čísla, ne "nekonečně malá". Samozřejmě si nějak můžeš pomoci nějakými konstrukcemi, kde využiješ integrál, ale říct že integrál je to co chceme, to tak není, musíš tedy říct kde jsou ta naše sčítaná kladná reálná čísla a kde je ta definice jejich součtu.

Ten můj poslední citovaný příspěvek je překlep, trochu mě podivuje, že jsi to tak nepochopil, protože v tomto vlákně se bavíme výhradně o součtu nespočetně mnoha čísel... Součet spočetně mnoha čísel je v tomto případě nezajímavý a známý....

Tady ještě jednou - zajímá nás součet nespočetně mnoha kladných reálných čísel.

A co jsem se snažil říct je, že ať ten součet definujeme jakkoliv, tak stejně nebude konečný...

A jednu definici toho součtu podal vlado_bb v příspěvku #2. Vypadá rozumně (až na ten překlep s konečností namísto spočetnosti).

Eratosthenes napsal(a):

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ano, integrál lze chápat jako součet "nekonečně (nespočetně) mnoha" čísel, ale problém je, že ta čísla jsou "nekonečně malá"

A jak jsi na to přišel ??????????????????????????????????

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Samozřejmě si nějak můžeš pomoci nějakými konstrukcemi, kde využiješ integrál, ale říct že integrál je to co chceme, to tak není, musíš tedy říct kde jsou ta naše sčítaná kladná reálná čísla a kde je ta definice jejich součtu.

Promiň, fakt jsem netušil, že to nevíš a musím říct, že mě to silně překvapilo. Psát to sem zatím nebudu, určitě ti to dojde.

K prvnímu bodu:
Stačí se podívat na definici integrálu - to je jakási limita, ve které (zhruba řečno) sčítáš stále víc a víc čísel, která jsou stále menší a menší.

k druhému bodu:
Tady nevím o čem mluvíš, poznamenal jsem, že integrál nelze považovat za definici sumy kladných čísel a jen jsem podotkl, že jeho konstrukci lze při tkonstrukci takové sumy nějak použít. Netvrdím že to jde. Takže jsem na nic nepřišel, spíše jsem takovou konstrukci nezavrhl.

check_drummer napsal(a):

Eratosthenes napsal(a):

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ano, integrál lze chápat jako součet "nekonečně (nespočetně) mnoha" čísel, ale problém je, že ta čísla jsou "nekonečně malá"

Dá se ale chápat jinak, a to přesně tak, jak potřebuješ. 

check_drummer napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Samozřejmě si nějak můžeš pomoci nějakými konstrukcemi, kde využiješ integrál, ale říct že integrál je to co chceme, to tak není, musíš tedy říct kde jsou ta naše sčítaná kladná reálná čísla a kde je ta definice jejich součtu.

Promiň, fakt jsem netušil, že ti to nedojde. Psát to sem zatím nebudu, určitě na to přijdeš .

K prvnímu bodu:
Stačí se podívat na definici integrálu - to je jakási limita, ve které (zhruba řečno) sčítáš stále víc a víc čísel, která jsou stále menší a menší.

k druhému bodu:
Tady nevím o čem mluvíš, poznamenal jsem, že integrál nelze považovat za definici sumy kladných čísel

Ale ono to lze.

↑ check_drummer:

check_drummer napsal(a):

... poznamenal jsem, že integrál nelze považovat za definici sumy kladných čísel a jen jsem podotkl, že jeho konstrukci lze při tkonstrukci takové sumy nějak použít. Netvrdím že to jde. Takže jsem na nic nepřišel, spíše jsem takovou konstrukci nezavrhl.

integrál jsi zavrhl již ve svém prvním příspěvku. Já jsem marně přemýšlel, co je na něm nerozumného a snažil jsem se ti ho vnutit hned v prvním svém příspěvku 11. 11. 2024 23:12. Už tady jsem ti vysvětlil všechno to, co po mně chceš teď a tady ↑ check_drummer:

Zavrhl jsi to podruhé, i když už tam je celkem jasně vidět řešení. Takže doporučuji pozorně a pomalu si to znovu pročíst.

Řekl jsem si, že jsi hodně náročný, když integrál nepovažuješ za "rozumný" a že chceš asi být chytřejší než Riemann s Lebesguem dohromady. A tak jsem na to, já blbec, přistoupil taky a týden zkoušel vymyslet něco lepšího. Samozřejmě jsem zjistil, že nejsem chytřejší ani jako Riemann, natož jako Lebesgue. To se dalo čekat, ale té snahy nelituju, protože jsem si díky ní taky sem tam něco srovnal v hlavě.

Že je to s tou náročností jinak, to mi mělo dojít hned druhý den 11. 11. 2024, kdy bylo jasné, že teorie míry ti nic neříká a že integrálu rozumíš asi tak, jak jsem mu rozuměl já, když jsem o něm poprvé uslyšel na gymnáziu.

Takže ještě jednou, co jsem napsal hned do svého prvního příspěvku. To, po čem toužíš, bylo vyřešeno už na přelomu 19. a 20. století.

Nechť [mathjax]f(x) [/mathjax]  je kladná funkce, Riemannovsky (Lebesgueovsky) integrovatelná  na intervalu <0;1> R-f (L-f) součtem nespočetné množiny [mathjax]\{f(x_i)\in \mathbb{R}| i\in \langle 0;1 \rangle \}[/mathjax] kladných reálných čísel rozumíme Riemannův integrál

[mathjax]f-R\huge \sum_{i\in \langle 0;1\rangle} f(x_i)= \small f-R\huge\int_{0}^{1}f(x)dx[/mathjax]

resp.

[mathjax]f-L\huge \sum_{i\in \langle 0;1\rangle} f(x_i)=\small f-L\huge\int_{0}^{1}f(x)dx[/mathjax]

 
A kdyby interval <0;1> byl dobře uspořádaný, mohli bychom psát

[mathjax]f\huge \sum_{i=1}^{2^{\aleph_0}}x_i=\small f\huge\sum_{i=1}^{\aleph_1}f(x_i)=\small f\huge\int_{0}^{1}f(x)dx[/mathjax]

Toto už by Riemann nezvládl. Lebesgue ano, pokud by měl to uspořádání. Proto jsem rouboval symboly a odvolával se na axiom výběru.

↑ check_drummer:

Chybou, kterou jsem udělal, bylo, že jsem do tohoto tématu vúbec lezl. Znovu musím totiž opakovat to, co jsem psal už včera zhruba touto dobou. Tvojí chybou je že

N E V Í Š,    C O      C H C E Š,   

A B S O L U T N Ě     N E J S I     S C H O P E N    F O R M U L O V A T   P R O B L É M.

Cituji z tvého zadání: 

>> Lze nějak "rozumně" definovat součet nespočetně mnoha reálných čísel?

Definovat součet nespočetně mnoha reálných čísel znamená definovat zobrazení tak, aby vzalo libovolnou nespočetnou množinu  reálných čísel a nějak jí přiřadilo reálné číslo. Jedinou další podmínkou tam někde bylo, aby součet kladných čísel byl konečný a kladný. Tedy například definuji, že součtem nespočetně mnoha reálných čísel z nějaké nespočetné podmnožiny množiny [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] je jednička.

Nebýt v zadání slovíčko "rozumně", mám vyřešeno. Takový součet ale asi moc "rozumný" není, takže pojďme hledat rozumnější.
Rozumnějším a asi nejrozumnějším takovým součtem je Lebesgueův integrál.

Ale ty chceš něco jiného, než jsi napsal. Chceš vzít "standardní", "klasický" součet a hledat alespoň jednu jedinou nespočetnou množinu kladných reálných čísel, kterou má ten součet, definovaný možná už v okamžiku, kdy člověk slezl ze stromu, zchroustat a vyrobit z nich nějaké kladné reálné číslo. Úplně jedno jaké. To ale ze svého zadání bereš vůz a zapřaháš ho před koně.

Pokud bys hned na začátku napsals toto, měl bys ode mě vyřešeno okamžitě. Něco takového je ve zjevném rozporu s nutnou podmínkou konvergence a s limitou vybrané posloupnosti, takže to nejde.

PS: Z tvého posledního příspěvku je jasné, že znáš jen jediný součet na světě, totiž ten, kde 1+1=2. Ale on existuje třeba součet, široce používaný, kde (světe, div se) je 1+1=0 a nulový součet tam zůstane, i když těch jedniček sečteš miliardu.

Taky je zřejmé, že znáš jednu jedinou interpetaci integrálu, totiž tu středoškolskou, kdy integrál sčítá nějaké obdélníky. Ale třeba integrál  definující moment setrvačnosti rozhodně nesčítá obdélníky. Ani já nesčítám obdélníky a už rozhodně ne obdélníky s šířkou jedna. Když už mocí mermo trváš na obdélnících, jsou to obdélníky s šířkou nula.

↑ Eratosthenes:
Myslím, že každému (kromě tebe) bylo jasné, že jde o zobecnění běžně používaného součtu reálných čísel, resp. součtu (řady) spočetně mnoha čísel. Tedy:

Protože ten pojem zatím nemáme definován, tak si popišme co po něm chceme.

Chceme sčítat kladná reálná čísla xi, tedy chcme definovat "něco" jako hodnotu x1+x2+x3+.... kde budeme postupně procházet všechna čísla xi. To je ten základ, formulovaný intuitivně. Protože takový součet ale definovaný nemáme, tak se můžeme pokusit sepsat nějaké vlastnosti co od něj požadujeme (ten součet označme x).

Např.:
1) Pro libovolnou konečnou podmnožinu čísle xi musí platit, že jejich součet je <= x
2) Pro libovolnou spočetnou podmnožinu čísel xi musí platit, že suma(xi) (kterou chápeme jako řadu) je <= x.
3) Chceme aby to číslo x bylo ale co nejmenší, tedy ze všech takových čísel x splňujících body 1) a 2) zvolme takové nejmenší x - přesněji řečeno supremum množiny takových x.

Pozn:
Bod 1) lze vynechat, byl formulován jen pro názornost.
Je to vlastně definice se kterou přišel vlado_bb.

Body 1) a 2) jsou podstatné - určitě chceme, aby platilo, že součet menší podmnožiny není větší než součet větší podmnožiny. Otázka je, zda bod 3 stačí a nebo zda tam nepřidat i další body. Ale vzhledem k tomu že jsem dokázal, že součet x nemůže být konečný a vzhledem k tomu jak ten důkaz vypadá, tak to stačí. Kdyby konečný mohl být, mohli bychom uvažovat nad tím, zda to není příliš omezujcíí podmínka uvažovat jen spočetné souty (a jejich supremum).

check_drummer napsal(a):

Rozpor s nutnou podmínkou konvergence tam nevidím

Tak to je mi líto. Řešíš kvadraturu kruhu, ale jak říká jeden můj kolega - každý svého štěstí pyrotechnikem...

check_drummer napsal(a):

Možná tě to překvapí, ale každý integrál je vlastně limitní součet obsahů nějakých obdélníků (kvádrů, ...), délka jejichž jedné strany se limitně blíží k 0. I křivkové a další integrály tak lze chápat...

Není to pravda a u tebe mě to už nepřekvapí.

Riemannův integrál je limitní součet obsahů nějakých obdélníků (kvádrů, ...)
Křivkový integrál je... Plošný ano. Ale rozhodně ne třeba Newtonův anebo zrovna ten Lebesgueův (ten totiž dělá přesně to, o čem ty tvrdíš, že to nelze...)

Bati napsal(a):

je potreba specifikovat vhodnou miru vzhledem ke ktere to budete integrovat (scitat, chcete-li).

No to je právě ten problém:  integrovat   N E B O L i    sčítat.  Toto řešení jsem napsal už ve svém prvním příspěvku zde ↑↑ Eratosthenes:. Jenže check_drummer zjevně neví, co to míra je, a integrál pro něj není součet. To je potom těžká věc...

↑ Eratosthenes:
Ano, pro účely této úlohy integrál nepovažuju za součet. Samozřejmě chápu, že integrál je jistá forma součtu, ale na náš problém to nelze aplikovat, tady chceme opravdu sčítat čísla ve smyslu "bežného" součtu, tak jak to píšu v #114.

To že jsem si stanovil jisté podmínky na ten součet neznamená, že neznám další možnosti (další demagogie, kolikátá už...), které ale záměrně zakazuju.