#1 28. 01. 2025 16:27
Barometrická formula
Ahojte,
prosím Vás o radu pri riešení odvodenia barometrickej formule.
Všeobecne je prijímaná verzia kde sa použijú nasledovné dva vzťahy :
dp= - ρ. g. dh (1)
p=k. ρ (2)
p... tlak
ρ... hustota
g... gravitačné zrýchlenie
h... výška
k... konštanta
Spoločným riešením je potom všeobecne uznávaná barometrická formulka o exponenciálnom klesaní tlaku s výškou.
Odvodenie je napriklad aj v týchto dvoch odkazoch.
http://fyzikalniolympiada.cz/texty/plyny.pdf
https://www.tec-science.com/mechanics/g … tmosphere/
V prvom prípade fyzikálnej olympiády
je na hornej časti použitý tlak p+Δp a v dolnej časti len p. Pritom vieme, že tlak s výškou klesá. Bez problémov dostali
dp= - ρ. g. dh
a úspešne dotlačili výsledok do očakávania.
Túto nezrovnalosť (p+Δp) odstránili autori v druhom odkaze, kde už horný tlak znížili o dp na p-dp, (tlak teda klesá s výškou), ale keď dostali z rovnováhy síl výraz
dp=+ρ. g. dh
aby im to "vyšlo" , tak sa odvolali na ústne konštatovanie o klesaní tlaku s výškou (znovu) a prepísali plus na mínus.
Mám však výhrady voči takémuto úmyselnému manipulovaniu.
Prosím, kto má v tom jasno, napíšte.
Vďaka.
Offline
#2 28. 01. 2025 17:03
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: Barometrická formula
Ahoj,
odvození v brožurce FO mi přijde zcela v pořádku.
Autoři vyšli z toho, že v horní vrstvě elementu je změna tlaku [mathjax]\Delta p[/mathjax],
aniž předem uvažovali, zda bude kladná, nebo záporná.
Dalším postupem vyšlo, že tlak s výškou klesá. Je něco v tomto postupu nejasného?
To odpovídá měření (zkušenosti), vše je v pořádku.
Nad tím druhým odvozením si trochu lámu hlavu.
Myslím si, že oni si ji moc nelámali a použili dvakrát experimentální fakt,
že tlak s výkou klesá.
Offline
#3 28. 01. 2025 18:15
Re: Barometrická formula
Tak to je přece základní věta odvozování, že znaménko v lin. dif. rovnici se musí udělat takové, aby to konvergovalo, a pak se teprve bádá nad tím, proč je takové jaké je.
Ale jinak není zas tak těžké na to přijít. Předpokládejme, že ve výšce h je tlak p. To je přesně takový tlak, který unese celou tu hmotu vzduchu m, co je nad ním (od výšky h až do nekonečna).
A teď snížíme výšku o dh. A tlak ve výšce h-dh musí být takový, aby zase udržel všechno co je nad ním, což je tedy zase ta původní hmota m od výšky h nahoru, a k tomu ještě hmota toho elementu vzduchu o výšce dh.
[mathjax]p(h-\Delta h) = p(h) + \Delta p = p(h) + \Delta h \cdot \varrho \cdot g[/mathjax]
Offline
#4 28. 01. 2025 18:27
Re: Barometrická formula
Tedy
[mathjax]\frac{p(h-\Delta h) - p(h)}{\Delta h} = h \cdot \varrho \cdot g[/mathjax]
Teď už je celkem intuitivně jasné, že to záporné znaménko pochází z toho, že je tam -dh a né +dh. Pokud to chceme opravdu odvodit - no tak asi musíme použít linearizovaný vztah pro p, tedy
[mathjax]p(h-\Delta h) \doteq p(h) + \frac{dp}{dh}\cdot(-\Delta h) = p(h) - \frac{dp}{dh}\cdot\Delta h[/mathjax]
a po dosazení tedy dostaneme
[mathjax]-\frac{dp}{dh} = h \cdot \varrho \cdot g[/mathjax]
Ale asi to nestojí to za tu práci se s tím takhle mordovat.
Offline
#5 28. 01. 2025 18:50
Re: Barometrická formula
↑ Mirek2:
Ďakujem Mirek.
Tak som si to ujasnil...
Pri odvodení FO sa dospelo až ku skalárnej
rovnici
F1-F2-Δm. g=0
Netušíme,ešte zatiaľ čo je väčšie.
Tlaky označíme indexami tak ako sily
p1, p2 a tiež úrovne hladín h1, h2
Dostaneme
p1. S - p2. S - ρ. S.(h2-h1). g = 0
po úprave p1-p2 = ρ.g.(h2-h1)
keďže h2-h1 > 0 potom p1 > p2
Spodný tlak je väčší ako horný.
Keďže derivácia dp/dh = limita Δp/Δh=
=limita (p2-p1) /(h2-h1) pre h2-->h1
(podmienka rovnakého poradia indexov)
Potom derivácia dp/dh < 0
Teraz mi to došlo prečo tam má byť mínus.
Ďakujem.
Offline