Matematické Fórum

simonaj1 · 24. 07. 2009 17:17

tak u tohle je to pro mě taky gulášovka... možná mi jen chybí nějaká základní znalost.... ale jak je možné udělat z tohoto $(x^2+1)(x^2+1)-2x^2$ tohle $(x^2+\sqrt2x+1)(x^2+\sqrt2x+1)$

Marian · 24. 07. 2009 17:21

Stačí uvažovat takto:
$(x^2+1)\cdot (x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2.$
Položíme-li
$A:=(x^2+1)\qquad\qquad\text{a}\qquad\qquad B:=\sqrt{2}x,$
lze předchozí výraz zapsat jako $A^2-B^2$ . Ten se ovšem dá rozložit (jak je dobře známo ze ZŠ) do tvaru $(A-B)(A+B)$ . Uvědomíš-li si, jak jsem si zvolili veličiny A a B a seřadíš-li sestupně v předvedeném rozkladu mocniny proměnné "x", dostaneš to, čemu říkáš "gulášovka".

simonaj1 · 24. 07. 2009 17:26

↑ Marian: hezké a jednoduché i pro mě, děkuji:-) ... jen to tam tak ještě vidět, když na to kouknu:-/ ... jak moc je důležité, dovést rozklad polynomu až do této fáze, když bych to chtěla použít pro parciální zlomky? Ještě přesně nevím jak fungují...

Marian · 24. 07. 2009 17:34

↑ simonaj1:
Pravděpodobně jsi chtěla integrovat funkci $f(x)=1/(x^4+1)$ . Platí totiž
$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2.$
Ten rozklad, o kterém zde diskutujeme, se dá použít pro výpočet primitivní funkce k funkci f(x), ale musím tě upozornit, že tuto úlohu v počátcích rozhodně neřeš (asi by byla demotivující pro tebe v této fázi a s tvými znalostmi).

Obecně se při integraci ryze racionální funkce využívá tvrzení, že jmenovatel (jakožto polynom) se dá rozložit na dílčí faktory s reálnými koeficienty, které mají ti vlastnost, že jsou buď lineární nebo kvadratické. Ve tvém případě se tedy dá funkce $x^4+1$ rozložit na součin dvou kvadratických trojčlenů. Teď se zkoumá, zda-li tyto kvadratické trojčleny lze rozložit na lineární faktory mající koeficienty z R (jednodušeji, vyřešíš jejich diskrimant a uvážíš, je-li D<0, D>0 nebo D=0).

Po éto fázi přichází to hlavní a to je věta o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky, kde se využívá toho, že jmenovatel je rozložen na samé lineární nebo kvadratické funkce s reálnými koeficenty. Ta věta je ale strašně dlouhá (odhadem má nejméně půl stránky). Chce to mnoho řešit a zkoušet.

PS: Nesnažil jsem se tomto přípsěvku o kompletnost a obecnou správnost.

simonaj1 · 24. 07. 2009 17:53

↑ Marian: ano to byl ten začátek a neboj, zatím nic řešit nehodlám, jen sbírám znalosti, které budu muset používat dále... zatím nic neintegurji:-D jen ještě dotaz, bylo by nějaké hezké vysvětlení k tomu co znamená doplnit na čtverec? v tomhle případě se k tomuto $x^4+1$ přidalo to $2x^2-2x^2$ , ale netuším, jak se dospělo zrovna k tomuhle číslu

simonaj1

↑ simonaj1: tak už nemusíte, už jsem to nastudovala... plyne to z toho, že se celý tvar $x^4+1$ snažím upravit podle vzorce $A^2 + 2AB + B^2$ přičemž tady je $A:= x^2$ a $B:= 1$ takže dosadím a získám $(x^2)^2 + 2x^21 + 1^2$ no a ještě musím ten prostředek odečíst když jsem ho přičetla, aby se tím nezměnila hodnota, takže nakonec dostanu $((x^2)^2 + 2x^21 + 1^2)-2x^21$

Marian · 25. 07. 2009 11:56

↑ simonaj1:

Chtěl bych připomenout, že podobná technika se používá u parciálních zlomků třeba i v případě tomto:

Začátek spočívá v tom, že se položí $x^2=A^2$ a $2AB=x$ . Odtud se dedukuje hodnota $B$ ; používá se vzorce $A^2\pm 2AB+B^2$ .

Navíc se uvedený výsledek daří tuto technikou převést na tvar $k\cdot (Y^2+1)$ , kde $k=\frac{3}{4}$ a $Y=\frac{2x\pm 1}{\sqrt{3}}$ . Zde se pak zpravidla používá vzorce pro arkustangens v kombinaci s lineární substitucí.

Tato technika je velmi častá -- doporučuji v případě potřeby nastudovat.