#1 01. 09. 2025 11:33
Zápis intervalu
Zdravím,
rád by som vedel váš názor na zapisovanie intervalov.
Pri vyšetrovaní priebehu funkcie mi vyšlo, že funkcia je rastúca na
[mathjax](-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup (1,10)\cup (10,\infty)[/mathjax]
V bodoch -2 a 10 nie je funkcia definovaná a na intervale (-1,1) je funkcia klesajúca.
Moja otázka je, či môžem interval zapísať aj takto:
[mathjax](-\infty,-1)\cup (1,\infty) \setminus \{-2,10\}[/mathjax]
resp.
[mathjax]\mathbb{R} \setminus \{-2,10,\langle-1,1\rangle\}[/mathjax]
Sú dané zápisy v poriadku? Keď som sa na to pýtal, dostal som rôzne odpovede, ale väčšine sa to nepáčilo.
Vďaka.
Offline
#2 01. 09. 2025 12:01 — Editoval Richard Tuček (01. 09. 2025 12:20)
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Zápis intervalu
↑ Stan:
Pojem funkce rostoucí či klesající je definován pro intervaly. Pro libovolně množiny by to bylo problematické.
Formuloval bych to asi takto:
Funkce je rostoucí v intervalech: (-nek; -2), (-2;-1), (1;10), (10; +nek)
Poslední 2 zápisy se mi moc nelíbí.
Např. Tvrzení: Funkce y=1/x je klesající v (-nek; +nek) není správné.
Tvrzení: Funkce y=1/x je klesající v intervalech (-nek; 0), (0;+nek) je správné.
Offline
#3 01. 09. 2025 12:29 — Editoval vlado_bb (01. 09. 2025 12:44)
Re: Zápis intervalu
↑ Stan: Funkcia samozrejme môže byť rastúca alebo klesajúca na ľubovoľnej množine, nielen intervale. Inak by sme napríklad nemohli hovoriť o rastúcich alebo klesajúcich postupnostiach. Ale skontroluj si, či je tvoja funkcia skutočne rastúca na množine, ktorú spomínaš. Je napríklad splnená nerovnosť [mathjax]f(-1.1) \le f(1.1)[/mathjax]? A tvoje zápisy sú formálne správne, aj keď dosť neobvyklé. Teda, opravujem - posledný zápis správny nie je, pretože interval nie je reálne číslo. Zápis [mathjax] A \setminus B[/mathjax] označuje množinu všetkých prvkov A, ktoré nie sú prvkami B. Množina B má u teba tri prvky, dve čísla a jeden interval.
Offline
#4 01. 09. 2025 15:05
Re: Zápis intervalu
↑ vlado_bb:
To znamená že záleží aj na tom, či je funkcia ostro rastúca?
Napr. funkcia
[mathjax]2x^2-x^4[/mathjax]
je rastúca na intervaloch [mathjax](-\infty,-1)[/mathjax] a [mathjax](0,1)[/mathjax]
Ale [mathjax]f(-1.2)>f(0.2)[/mathjax]
čiže zápis "Funkcia je rastúca na [mathjax](-\infty,-1)\cup (0,1)[/mathjax]" je nesprávny?
Offline
#5 01. 09. 2025 17:13 — Editoval check_drummer (01. 09. 2025 17:14)
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Zápis intervalu
↑ Stan:
Ano (nebo přesně řečeno - zápis je správný, ale to tvrzení je nepravdivé), základní definice je, že "funkce je rosoucí na množině" - a je jedno jestli je ta množina interval nebo jestli je nesouvislá. Funkce může být rosoucí na množině A i na množině B, ale už nemusí být rostoucí na množině [mathjax]A \cup B[/mathjax].
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#7 11. 09. 2025 16:10
#8 12. 09. 2025 11:07
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3111
- Reputace: 140
Re: Zápis intervalu
↑ Stan:
Ahoj,
když tady není náčrtek grafu té funkce, je možné s jistotou říct jen to, že zápis
[mathjax]\mathbb{R} \setminus \{-2,10,\langle-1,1\rangle\}[/mathjax]
je špatně - mícháš interval s čísly.
První dva zápisy sice můžou být dobře, ale...
...když je x1<x2, musí být f(x1)<f(x2), a to na celé množině, na které má funkce růst. Takže ty intervaly můžeš sjednotit jenom tehdy, když by ta funkce vypadala nějak takto: 
To tvoje sjednocení je červené. x1 patří do červené, x2 patří do červené, je x1<x2 a f(x1)<f(x2).
A platí to pro každá dvě x1;x2, která patří do červené.
Ale že by ten graf opravdu vypadal takto, to dost pochybuju. Nejspíš to vypadá nějak takto
a pak to sjednocovat nemůžeš.
x1 patří do červené, x2 patří do červené, je x1<x2, ale f(x1)>f(x2). Takže není pravda, že na červené množině funkce roste.
Budoucnost patří aluminiu.
Offline